平衡二叉树又称为AVL树，
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。
维护平衡二叉树需要有四种旋转的情况
左左旋转
右右旋转
左右旋转
右右旋转
//********************************************************************************************
//***说明：二叉排序树遍历是从小到大的顺序，AVL树也是bst，但是满足所有的树的左右高度相差不大于1
//***平衡二叉树是一种特殊的二叉树，满足以上要求，主要是为了进一步的优化，提高操作的效率（O(log(n))）
//***针对下面情况进行调整
//***测试pat1066 http://www.patest.cn/contests/pat-a-practise/1066
//*********1*******************************1**********2***************************************
//**********\****************************************/*\**************************************
//***********2**************************************1***4*************************************
//************\*******------>**************************/*\************************************
//*************3**************************************3***5***********************************
//**************4*****************************************************************************
//***************\****************************************************************************
//****************5***************************************************************************
// 其中主要的策略就是选择，旋转一共分为下面四种情况
//******** A ********** B ************** C ********************* D ***************************
//********************************************************************************************
//***** 6 **** 6 ************2***********************2****************************
//***** / \ **** / \ ***********/*\*********************/*\***************************
//***** 3 7 **** 2 7 **********1***5*******************1***4**************************
//***** / \ **** / \ *************/*\*********************/*\*************************
//*****1 4 **** 1 4 ************3***6*******************3***6************************
//***** \ **** / *************\*************************/*************************
//***** 2 **** 3 **************4***********************5**************************
//********************************************************************************************
//********************************************************************************************
//********************************************************************************************
//********************************************************************************************
//********************************************************************************************
/*********************************************************************************************
*A、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
*B、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
*C、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
*D、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。
*
*说明：二叉排序树遍历是从小到大的顺序，AVL树也是bst，但是满足所有的树的左右高度相差不大于1
*/
#ifndef AVL_H
#define AVL_H
#include <iostream>
using namespace std;
/*AVL树节点信息*/
template <typename T>
class TreeNode
{
public :
TreeNode():lchild(NULL),rchild(NULL),freq(1),hgt(0){}
T data ;/*值*/
int hgt;/*以此节点为根的树的高度*/
unsigned int freq;/*频率*/
TreeNode * lchild,*rchild;/*左右孩子*/
};
/*AVL树类的属性和方法声明*/
template <typename T>
class AVLTree
{
private :
TreeNode<T> *root; /*根节点*/
void InsertPri(TreeNode<T> * &node, T x); /*插入x*/
TreeNode <T>* FindPri(TreeNode<T> *node ,T x); /*查找x*/
void InSubTree(TreeNode<T> *node); /*中序遍历*/
void DeletePri(TreeNode<T> * &node, T x); /*删除*/
int height(TreeNode<T> *node); /*树的高度*/
void SingRotateLeft(TreeNode<T> * &k2); /*左左情况下的旋转*/
void SingRotateRight(TreeNode<T> * &k2); /*右右情况的旋转*/
void DoubleRotateLR(TreeNode<T> * &k3); /*左右情况的旋转*/
void DoubleRotateRL(TreeNode<T> * &k3); /*左右情况的旋转*/
int Max(int cmpa,int cmpb); /*求最大值*/
public :
AVLTree():root(NULL){}
void insert(T x); /*插入接口*/
TreeNode<T> * Find(T x); /*查找接口*/
void Delete(T x); /*删除接口*/
void Treversal(); /*遍历接口*/
};
/*计算以节点为根的树的高度*/
template <typename T>
int AVLTree <T>::height(TreeNode<T>* node)
{
return node!=NULL? node->hgt:-1;
}
/*求最大值*/
template <typename T>
int AVLTree<T>::Max(int cmpa,int cmpb)
{
return cmpa>cmpb ? cmpa :cmpb;
}
/************************************************************************/
/* 单旋转 单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是
*对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，
*节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深
*的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况 (左左情况下的选择) */
/*为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右
*子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既
*********************满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。*/
/************************************************************************/
//****************k2******************************k1**********************
//***************/*\*****************************/*\**********************
//**************k1**z****--------->*************x***k2********************
//*************/*\*********************************/*\********************
//************x***y*******************************y***z*******************
/*这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向
*上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子
*树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根
*节点的路径就不需要继续旋转了。***********************************************/
/*左左旋转*/
template <typename T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T> * &k2)
{
TreeNode<T> *k1;
k1=k2->lchild;
k2->lchild=k1->rchild;
k1->rchild=k2;
k2->hgt=Max(height(k2->lchild),height(k2->rchild))+1;
k1->hgt=Max(height(k1->lchild),k2->hgt)+1;
k2=k1;/*最后一定要更新根节点*/
}
/*右右旋转*/
template <typename T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T> * &k2)
{
TreeNode<T> *k1;
k1=k2->rchild;
k2->rchild=k1->lchild;
k1->lchild=k2;
k2->hgt=Max(height(k2->lchild),height(k2->rchild))+1;
k1->hgt=Max(height(k1->rchild),k2->hgt)+1;
k2=k1;/*最后一定要更新根节点*/
}
/**************************双旋转(左右情况下的双旋转)************************/
//************************************************************************
//*************k3******************k3**********************k2*************
//************/*\*****************/*\*********************/**\************
//**********k1***d*---->********k2***d*****---->********k1****k3**********
//*********/**\*****************/*\********************/*\***/*\**********
//********a****k2*************k1***c******************a***b*c***d*********
//************/*\************/*\******************************************
//***********b***c**********a***b*****************************************
//************************************************************************
//************************************************************************
//************************************************************************
/************************************************************************/
/*
*左右旋转
*为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成
*了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。
*/
template <typename T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T> * &k3)
{
SingRotateRight(k3->lchild);
SingRotateLeft(k3);
}
/*右左旋转*/
template <typename T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T> * &k3)
{
SingRotateLeft(k3->rchild);
SingRotateRight(k3);
}
/*************************************************************************
*插入的方法和二叉查找树基本一样，区别是，插入完成后需要从插入的节点开始维护
*一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。
*维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。
*insert
*************************************************************************/
template <typename T>
void AVLTree<T>::InsertPri(TreeNode<T>* &node, T x)
{
if(node==NULL)/*如果节点为空,就在此节点处加入x信息*/
{
node =new TreeNode<T>();
node->data=x;
return ;
}
if (node->data>x)/*如果X小于节点的值，就继续再节点的左子树中插入*/
{
InsertPri(node->lchild,x);
if (2==height(node->lchild)-height(node->rchild))
{
if (x<node->lchild->data)
{
SingRotateLeft(node);
}
else
DoubleRotateLR(node);
}
}
else if (node->data<x)/*如果X大于节点的值，就继续再节点的右子树中插入*/
{
InsertPri(node->rchild,x);
if (2==height(node->rchild)-height(node->lchild))
{
if (x>node->rchild->data)
{
SingRotateRight(node);
}
else
DoubleRotateRL(node);
}
}
else
node->freq++;/*如果相等，频率加1*/
node->hgt=Max(height(node->lchild),height(node->rchild))+1;
}
/************************************************************************/
/* 插入接口 */
/************************************************************************/
template <typename T>
void AVLTree<T>::insert(T x)
{
InsertPri(root,x);
}
/************************************************************************/
/* 查找 */
/*和二叉查找树相比，查找方法没有变法，不过根据存储的特性，
*AVL树能维持在一个O(logN)的稳定的时间，而二叉查找树则相当不稳定。
/************************************************************************/
template<typename T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::FindPri(TreeNode<T> *node ,T x)
{
if(node==NULL)/*如果节点为空说明没找到,返回NULL*/
return NULL;
if(node->data>x)/*如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x*/
return FindPri(node->lchild,x);
if (node->data<x)/*如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x*/
return FindPri(node->rchild,x);
return node;/*如果相等,就找到了此节点*/
}
/*查找接口*/
template<typename T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::Find(T x)
{
return FindPri(root,x);
}
/************************************************************************/
/* 删除 */
/*删除的方法也和二叉查找树的一致，区别是，删除完成后，
*需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。
/************************************************************************/
template<typename T>
void AVLTree<T>::DeletePri(TreeNode<T> * &node, T x)
{
if(node==NULL)/*空*/
return ;
if(x<node->data)
{/*如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x，删除完成后，需要调整树，使之保持平衡*/
DeletePri(node->lchild,x);
if (2==height(node->rchild)-height(node->lchild))
{
if(node->rchild->lchild!=NULL &&
(height(node->rchild->lchild)>height(node->rchild->rchild))
)
DoubleRotateRL(node);
else
SingRotateRight(node);
}
}
else if (x>node->data)
{/*如果大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x，删除完成后，需要调整树，使之保持平衡*/
DeletePri(node->rchild,x);
if (2==height(node->lchild)-height(node->rchild))
{
if(node->rchild->lchild!=NULL &&
(height(node->lchild->rchild)>height(node->lchild->lchild))
)
DoubleRotateLR(node);
else
SingRotateLeft(node);
}
}
else/*相等，删除，然后调整，使之平衡*/
{
if (node->lchild && node->rchild)/*此节点有两个儿子*/
{
TreeNode<T>* temp=node->rchild;/*temp指向节点的右儿子*/
while(temp->lchild!=NULL)
temp=temp->lchild;/*找到中序遍历的后继节点，必定在最左边那个*/
node->data=temp->data;/*调整节点数据信息*/
node->freq=temp->freq;
DeletePri(node->rchild,temp->data);/*删除边缘节点*/
if (2==height(node->lchild)-height(node->rchild))
{
if (node->lchild->rchild!=NULL &&
(height(node->lchild->rchild)>height(node->lchild->lchild))
)
DoubleRotateLR(node);
else
SingRotateLeft(node);
}
}
else/*此节点有1个或0个儿子*/
{
TreeNode<T> *temp=node;
if(node->lchild==NULL)/*有右儿子或者没有儿子*/
node=node->rchild;
else if(node->rchild==NULL)/*有左儿子*/
node=node->lchild;
delete(temp);
temp=NULL;
}
}
if(node==NULL)
return ;
node->hgt=Max(height(node->lchild),height(node->rchild))+1;
return ;
}
/*删除接口*/
template<typename T>
void AVLTree<T>::Delete(T x)
{
DeletePri(root,x);
}
/*中序遍历函数*/
template<typename T>
void AVLTree<T>::InSubTree(TreeNode<T> *node)
{
if(node==NULL)
return ;
InSubTree(node->lchild);/*先遍历左子树*/
cout<<node->data<<" ";/*输出根节点*/
InSubTree(node->rchild);/*再遍历右子树*/
}
/*中序遍历接口*/
template<typename T>
void AVLTree<T>::Treversal()
{
//cout<<root->data;
InSubTree(root);
}
#endif//avl.h
#include "AVL.h"
int arrs[7]={88,70,61,96,120,90,65};
int main(int argc,char** argv)
{
AVLTree<int> te;
for (int i=0;i<7;i++)
{
te.insert(arrs[i]);
}
te.Treversal();
return 0;
}原文地址：http://blog.csdn.net/u011889952/article/details/45395601
