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(字符串)最长公共子序列(Longest-Common-Subsequence,LCS)

时间:2015-04-30 17:54:16      阅读:103      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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问题:

最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列,该子序列在两个序列中以相同的顺序出现,但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB,Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列,但是不是X和Y的最长公共子序列,子序列BCBA是X和Y的一个LCS,序列BDAB也是。

思路:

1、最简单的方法就是暴力枚举。

先列举X所有的子序列,然后检查是否为Y的子序列,并记录最长的子序列。当该方法复杂度太高,假设X的长度为m,则X的子序列个数为2^m,指数级的复杂度是不实际的。

2、动态规划思想。

设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列,LCS(Xm,Yn)表示以Xm结尾的字符串和以Yn结尾的字符串的一个最长公共子序列,可以看出

如果xm=yn,则LCS ( Xm,Yn ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。

如果xm!=yn,则LCS( Xm,Yn )= max{ LCS ( Xm-1, Yn ), LCS ( Xm, Yn-1 ) }

最长公共子序列长度:

状态转移方程:

初始状态:dp[i][j]=0 if i==0 || j==0

转移方程:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  if (X[i-1]==Y[j-1])

     dp[i][j] = max ( dp[i-1][j], dp[i][j-1] )  if (X[i-1]!=Y[j-1])

最长公共子序列:

通过状态转移方程,可以逆推出最长子序列,如果x[i-1]==y[j-1] && dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1,则x[i-1]为最长子序列的元素,否则如果x[i-1]==y[j-1] && dp[i-1][j]>dp[i][j-1],则i--,否则j--,这样就得到一个倒序的最长子序列,具体见参考代码。

复杂度分析:

上述思路的时间复杂度为O(m*n),空间复杂度也为O(m*n);

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  if (X[i-1]==Y[j-1])

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j], dp[i][j-1] )  if (X[i-1]!=Y[j-1])

从状态转移方程可以看到,如果只求最长公共子序列长度的话,每一次转移的时候只与前一状态有关,因此空间复杂度可以从m*n降为2*n,只保存当前和前一状态,时间复杂度不变。

代码:

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int LCS(char *str1,int len1,char *str2,int len2){
    // calculate length of LCS
    vector<vector<int> > dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
    for(int i=0;i<=len1;i++){
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            if(i==0 || j==0)
                dp[i][j]=0;
            else{
                if(str1[i-1]==str2[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    // record the LCS
    int len=dp[len1][len2];
    char lcsArr[len];
    lcsArr[len]=\0;
    int i=len1,j=len2;
    while(i && j){
        if(str1[i-1]==str2[j-1] && dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1){
            lcsArr[--len]=str1[i-1];
            i--;
            j--;
            }
        else if(str1[i-1]!=str2[j-1] && dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
            i--;
        else
            j--;
    }

    cout<<"Length of LCS is: "<<len<<endl;
    cout<<"SubSequency of LCS is: "<<lcsArr<<endl;

    return dp[len1][len2];
}

int main()
{
    char str1[]="abcd";
    char str2[]="bd";
    int len1=sizeof(str1)/sizeof(str1[0])-1;
    int len2=sizeof(str2)/sizeof(str2[0])-1;
    cout << LCS(str1,len1,str2,len2) << endl;
    return 0;
}
int LCS2(char *str1,int len1,char *str2,int len2){
    // only to calculate length of LCS
    // reduce the space complexity from m*n to 2*n
    vector<vector<int> > dp(2,vector<int>(len2+1,0));
    int k;
    for(int i=0;i<=len1;i++){
        k=i&1;
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            if(j==0)
                dp[k][j]=0;
            else{
                if(str1[i-1]==str2[j-1])
                    dp[k][j]=dp[1-k][j-1]+1;
                else
                    dp[k][j]=max(dp[1-k][j],dp[k][j-1]);
            }
        }
    }
    cout<<"Length of LCS is: "<<dp[k][len2]<<endl;

    return dp[k][len2];
}

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(字符串)最长公共子序列(Longest-Common-Subsequence,LCS)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4469196.html

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