数据结构 - 图的存储结构

图的抽象数据类型定义

图是一种数据结构，加上一组基本操作就构成了图的抽象数据类型。
图的抽象数据类型定义如下：
ADT Graph{
数据对象V：具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。
数据关系R：R={VR}
VR={<v,w>|<v,w>| v,w?V∧p(v,w) ，<v,w>表示                                     从v到w的弧，P(v,w)定义了弧<v,w>的信息 }

基本操作P： 
Create_Graph() ： 图的创建操作。
初始条件：无。
     操作结果：生成一个没有顶点的空图G。GetVex(G, v) ： 求图中的顶点v的值。
初始条件：图G存在，v是图中的一个顶点。
操作结果：生成一个没有顶点的空图G。 
… … 
DFStraver(G,V)：从v出发对图G深度优先遍历。
    初始条件：图G存在。
    操作结果：对图G深度优先遍历，每个顶点访问且只访问一次。
          ? ?
BFStraver(G,V)：从v出发对图G广度优先遍历。
      初始条件：图G存在。
      操作结果：对图G广度优先遍历，每个顶点访问且只访问一次。
} ADT Graph 

图的存储结构

  图的存储结构比较复杂，其复杂性主要表现在：

◆ 任意顶点之间可能存在联系，无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，所以不能用简单的顺序存储结构来表示。
◆ 图中顶点的度不一样，有的可能相差很大，若按度数最大的顶点设计结构，则会浪费很多存储单元，反之按每个顶点自己的度设计不同的结构，又会影响操作。
图的常用的存储结构有：邻接矩阵、邻接链表、十字链表、邻接多重表和边表。

邻接矩阵(数组)表示法

  图的邻接矩阵基本思想：用两个数组来表示图：一个一维数组存储顶点信息，一个二维数组存储边或弧的信息。该二维数组称为邻接矩阵。

无权图邻接矩阵的特点

无向图邻接矩阵的特性
邻接矩阵是对称方阵；
对于顶点vi，其度数是第i行的非0元素的个数；
无向图的边数是上(或下)三角形矩阵中非0元素个数。
无向图的邻接矩阵中非零元个数 = 2*无向图边数
有向图邻接矩阵的特性
对于顶点vi，第i行的非0元素的个数是其出度OD(vi)；第i列的非0元素的个数是其入度ID(vi) 。
邻接矩阵中非0元素的个数就是图的弧的数目。

3 图的邻接矩阵的创建
图的邻接矩阵的实现比较容易，定义两个数组分别存储顶点信息(数据元素)和边或弧的信息(数据元素之间的关系) 。其存储结构形式定义如下：

#define MAXVEX 100         /* 最大顶点数，应由用户定义 */
#define INFINITY 65535

typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义  */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
   VertexType vexs[MAXVEX];     /* 顶点表 */
   EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; /* 邻接矩阵，可看作边表 */
   int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数  */
}MGraph;

(1)  图的创建
/* 建立无向网图的邻接矩阵表示 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    输入顶点数numVertexes和边数numEdges ；
    for(i = 0;i <G-> numVertexes;i++)
               读入顶点信息,建立顶点表
    for(i = 0;i <G-> numVertexes;i++)
         for(j = 0;j <G-> numVertexes;j++)
               G->arc[i][j]=INFINITY;/* 邻接矩阵初始化 */
    for(k = 0;k <G->numEdges;k++) 
                    读入numEdges条边，建立邻接矩阵 
}

   其他操作

(2) 图的顶点定位
确定一个顶点在vexs数组中的位置(下标) ，其过程完全等同于在顺序存储的线性表中查找一个数据元素。
根据下标，读出顶点信息。
(3) 向图中增加顶点
类似在顺序存储的线性表的末尾增加一个数据元素。
(4) 向图中增加一条弧
根据给定的弧或边所依附的顶点，修改邻接矩阵中所对应的数组元素。

邻接链表法

基本思想：数组与链表相结合。
具体办法：
顶点用一个一维数组存储，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针。
每个顶点vi的所有邻接点构成一个单链表，无向图称为顶点vi的边（链）表，有向图称为顶点vi作为弧尾的出边表（或作为弧头的入边表

邻接表的相关操作

求某结点的度，只需查找该顶点的边表中结点的个数（或者直接将顶点结点的结构再增加一项，用以存储其邻接点的个数）；
判断顶点vi到vj是否存在边，检查顶点vi的边表中是否存在结点vj的下标j即可；
求顶点的所有邻接点，只需对该顶点的边表进行遍历即可。
注：在无向图的邻接表中，边表结点的个数=2 * 边数
2 邻接表法的特点
◆ 在边或弧稀疏的条件下，用邻接表表示比用邻接矩阵表示节省存储空间；
◆ 在无向图，顶点Vi的度是第i个链表的结点数；
◆ 对有向图可以建立正邻接表或逆邻接表。正邻接表是以顶点Vi为出度(即为弧的起点)而建立的邻接表；逆邻接表是以顶点Vi为入度(即为弧的终点)而建立的邻接表；
◆ 在有向图中，第i个链表中的结点数是顶点Vi的出 (或入)度；求入 (或出)度，须遍历整个邻接表；

3  结点及其类型定义
#define MAX_VEX  30              /*  最大顶点数  */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType;      /* 边上的权值类型应由用户定义 */


typedef struct EdgeNode  /* 边表结点  */
{
    int adjvex;    /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
    EdgeType info;   /* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next; /* 链域,指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
    VertexType data;          /* 顶点域,存储顶点信息 */
    /*  int  indegree ;    //顶点的度, 有向图是入度或出度       (亦可不要) */
    EdgeNode *firstarc;   /* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAX_VEX];

typedef struct
{
    AdjList adjList;  //顶点数组（亦成为头结点向量）
    int numNodes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}GraphAdjList;

利用上述的存储结构描述，可方便地实现图的基本操作。

(1)  图的创建     /* 建立图的邻接表结构 */
void  CreateALGraph(GraphAdjList *G)
{     输入顶点数G->numNodes和边数G->numEdges
      for(i = 0;i < G->numNodes;i++) 
            读入顶点信息   G->adjList[i].data,
                                     G->adjList[i].firstedge）/* 将边表置为空表 */
     for(k = 0;k < G->numEdges;k++) /* 建立边表 */
    {     输入边(vi,vj)上的顶点序号;
          向内存申请空间,生成边表结点；
          将新生成的结点插入到以顶点vi为头结点的链表上; 
       （ 用头插入法or尾插入法方便？）
          此处需注意：如果是无向图，一条边对应两个顶点，所以应同时修正以vi为头结点和以vj为头结点的链表。
     }
}

其他操作：
(2) 图的顶点定位
图的顶点定位实际上是确定一个顶点在AdjList数组中的某个元素的data域内容。
(3) 向图中增加顶点
向图中增加一个顶点的操作，在AdjList数组的末尾增加一个数据元素。
(4) 向图中增加一条弧
根据给定的弧或边所依附的顶点，修改单链表：无向图修改两个单链表；有向图修改一个单链表。

十字链表法

十字链表(Orthogonal List)是有向图的另一种链式存储结构，是将有向图的正邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。
在这种结构中，每条弧的弧头结点和弧尾结点都存放在链表中，并将分别组织到以弧尾结点为头(顶点)结点和以弧头结点为头(顶点)结点的链表中。

◆  data域：存储和顶点相关的信息；
◆ firstin：指向以该顶点为弧头的第一条弧所对应的弧结点；
◆ firstout：指向以该顶点为弧尾的第一条弧所对应的弧结点；

◆ tailvex：指示弧尾顶点在顶点表中的下标；
◆ headvex：指示弧头顶点在顶点表中的下标；
◆ hlink：指向弧头相同的下一条弧；
◆ tlink：指向弧尾相同的下一条弧；
◆ Info域：指向该弧的相关信息，如网的权值

结点类型定义
#define INFINITY  MAX_VAL     /* 最大值∞ */
#define MAX_VEX  30     //  最大顶点数  
typedef struct ArcNode
{   int  tailvex , headvex ;   //  尾结点和头结点在顶点表中的下标；
InfoType    info  ;          // 与弧相关的信息, 如权值
struct ArcNode  *hlink , *tlink ; 
}ArcNode ;    /*  弧结点类型定义   */
typedef struct VexNode
{  VexType  data;     // 顶点信息
ArcNode  *firstin , *firstout ;
}VexNode ;    /*  顶点结点类型定义   */
typedef struct
{  int vexnum ;
VexNode  xlist[MAX_VEX] ;
}OLGraph ;   /*  图的类型定义   */

邻接多重表(Adjacency Multilist)

       邻接多重表(Adjacency Multilist)是无向图的另一种链式存储结构。
       在无向图的邻接表中，一条边(v,w)的两个表结点分别被选在以v和w为头结点的链表中。如果关注的重点是顶点，则邻接表是不错的选择，但在涉及到边的操作会带来不便。
      邻接多重表的结构和十字链表类似，每条边用一个结点表示；邻接多重表中的顶点结点与邻接表中的完全相同

Data域：存储和顶点相关的信息；
firstedge：指向依附于该顶点的第一条边所对应的表结点；
mark：用以标识该条边是否被访问过；
ivex和jvex：分别保存该边所依附的两个顶点在顶点表中的下标；
info域：保存该边的相关信息；
ilink：指向依附于顶点ivex的下一条边；
jlink：指向依附于顶点jvex的下一条边；

结点类型定义
#define INFINITY  65535     /* 最大值∞ */
#define MAX_VEX  30     /*  最大顶点数  */
typedef  emnu {unvisited , visited}  Visitting ;
typedef struct EdgeNode
{  Visitting  mark ;    // 访问标记
int  ivex , jvex  ;   // 该边依附的两个结点在图中的位置
InfoType    info  ;       // 与边相关的信息, 如权值
struct EdgeNode  *ilink , *jlink ; 
// 分别指向依附于这两个顶点的下一条边
}EdgeNode ;    /*  弧边结点类型定义   */

typedef struct VexNode
{  VexType  data;     // 顶点信息
ArcNode  *firsedge ;   //指向依附于该顶点的第一条边
}VexNode ;    /*  顶点结点类型定义   */
typedef struct
{  int vexnum ;
VexNode mullist[MAX_VEX] ;
}AMGraph ;

图的边表存储结构

在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结构。
边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部分组成：
边的起点下标
边的终点下标
边的权值

边表存储结构的形式描述如下：
#define INFINITY  MAX_VAL     /* 最大值∞ */
#define MAX_VEX  30     /*  最大顶点数  */
#define MAX_EDGE  100     /*  最大边数  */
typedef struct ENode
{  int  begin , end  ;   /*   边所依附的两个顶点  */
WeightType    weight  ;       /*   边的权值   */
}ENode ;    /*  边表元素类型定义   */
typedef struct 
{  int  vexnum , edgenum ;     /*   顶点数和边数    */
VexType  vexs[MAX_VEX] ;    /*   顶点表    */
ENode  edges[MAX_EDGE] ;     /*   边表    */ 
}ELGraph ;