数据结构 - 图的基本术语

图(Graph)概念

 图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。
   线性结构：研究数据元素之间的一对一关系。除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。
   树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素之间有明显的层次关系。

图结构：研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。
图的应用极为广泛，已渗入到诸如语言学、逻辑学、物理、化学、电讯、计算机科学以及数学的其它分支。

图的定义和术语

  图：是由顶点构成的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。通常表示为G=(V,E) 。其中：
  G：表示一个图；
  V：G中顶点(Vertex)的集合，记为V(G)；
  E：图G中边的集合，记为E(G) 。

注意点：
1、图中数据元素，称为顶点(Vertex)（线性表：元素；树：结点）
2、顶点集合有穷非空（线性表：空表；树：空树）
3、图中任意两个结点都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示。（线性表：线性关系；树：层次关系）

无向图（Undirected graphs）

无向图（Undirected graphs）
无向边：顶点v到w之间的边没有方向。用无序偶对(v, w)表示。

无向图：图中任意两个顶点之间的边都是无向边。

在无向图中，对?(v,w)?E(G) ，有(w,v)?E(G) ，即E(G)是对称，则用 (v,w)或(w,v) 表示v和w之间的一条边即可。

有向图（Directed graphs）

有向边：顶点v到w之间的边有方向。有向边也称为弧（Arc），用有序偶对（v, w）表示。 v称为弧尾(tail)或初始点(initial node)，w称为弧头(head)或终点(terminal node) 。

有向图：图中任意两个顶点之间的边都是有向边。

完全无向图

对于无向图，若图中顶点数为n ，边的数目为e，则e ?[0，n(n-1)/2 ] 。
完全无向图：具有n(n-1)/2条边的无向图；
即：图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边。
数学定义：
   对于无向图G=(V，E)，对?vi，vj?V ，当vi ≠vj，有<vi ,vj>?E。

安全有向图

对于有向图，若图中顶点数为n ，弧的数目为e，则e?[0，n(n-1)] 。
完全有向图：具有n(n-1)条边的有向图；
即：图中任意两个不同的顶点间都存在方向相反的两条弧。
数学定义：
        对于有向图G=(V，E)，对?vi，vj?V ，当vi ≠vj时，有<vi ,vj>?E∧<vj , vi >?E ，

有很少边或弧的图（e

图的顶点与边间关系

有向图顶点与边的关系：
顶点的邻接，对有向图G=(V ，E)，若有向弧（v,w）?E，则称
顶点v “邻接到”顶点w，
顶点w “邻接自”顶点v ，
弧（v,w） 与顶点v和w “相关联” 。
顶点的入度、出度：对有向图G=(V ，E)， ?vi ?V ，
以vi作为起点（弧尾）的有向边(弧)的数目称为顶点vi的出度(Outdegree)，记为OD(vi) ；
以vi作为终点（弧头）的有向边(弧)的数目称为顶点vi的入度(Indegree)，记为ID(vi) 。
顶点vi的出度与入度之和称为vi的度，记为TD(vi) 。即
TD(vi)=OD(vi)+ID(vi)

路径、路径长度、回路

对无向图G=(V，E)，若从顶点v经过若干条边能到达w，称顶点v和w是连通的，又称顶点v到w有路径(Path) 。其路径是一个顶点序列
(v=vi0vi1…vim=w) ，vij?V且(vij-1, vij)?E j=1,2, …,m
对有向图G=(V，E)，从顶点v到w有有向路径，指的是从顶点v经过若干条有向边(弧)能到达w。即
(v=vi0vi1…vim=w) ，vij?V且（vij-1, vij）?E j=1,2, …,m

路径的长度：路径上的边或有向边(弧)的数目。
简单路径：在一条路径中，没有重复相同的顶点；
回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
简单回路(简单环)：在一个回路中，若除第一个与最后一个顶点外，其余顶点不重复出现。

连通图、连通分量

对无向图G=(V，E)，
如果对图中任两个顶点vi ，vj ?V，vi和vj都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。
若G是非连通图，则极大的连通子图称为G的连通分量。 （如果从顶点v到w有路径，称v和w是连通的。）
对有向图G=(V，E)，
若?vi ，vj ?V， vi ≠vj都有从vi到 vj 和从vj到vi的有路径，称图G是强连通图，否则称为非强连通图。
若G是非强连通图，则极大的强连通子图称为G的强连通分量。
“极大”的含义：指的是对子图再增加图G中的其它顶点，子图就不再连通。

生成树

生成树：一个连通图(无向图)的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和只有足以构成一棵树的n-1条边，称为图的生成树。
关于无向图的生成树的几个结论：
一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边；
如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；
如果多于n-1条边，则一定有环；
有n-1条边的图不一定是生成树。

有向树、生成森林

有向树：只有一个顶点的入度为0 ，其余顶点的入度均为1的有向图。
生成森林：一个有向图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

网

带权图：每个边(或弧)都附加一个权值的图。
网或网络：带权的连通图(包括弱连通的有向图)。
网络是工程上常用的一个概念，用来表示一个工程或某种流程