SCOI05互不侵犯King题解

• 题目描述 Description
  在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

• 输入描述 Input Description
  只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

• 输出描述 Output Description
  方案数。

• 样例输入 Sample Input
  3 2

• 样例输出 Sample Output
  16

• 数据范围及提示 Data Size & Hint
  1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N

• 题解
  本题看起来和八皇后很类似，但实际上用搜索会T掉，正确的解法是状压dp。
  阶段：用行来划分阶段，每一行n个位置放国王记为1，不放记为0，一行用一个longlong进行状态压缩，每行状态数不会超过$2^n-1$。如此划分阶段，转移时即可只考虑上一行和这一行。
  然后可以预处理出所有合法的状态：
  先对每一行，从小到大枚举状态i，若i and (i shr 1)为0则说明状态i没有出现国王在一行中相邻的情况，i合法，记录之，并记下i对应的国王数cnt[i]；
  再对相邻的两行，从小到大枚举状态i，j，若i和j均合法则判断[i and j],[i and (j shr 1)], [j and (i shr 1)]，若三者均为0说明状态i和j没有出现国王在列上相邻或在对角线上相邻的情况，合法，记录之。
  状态：记f[p][k][i]为前p行共放了k个国王且第p行的状态为i的方案数。
  转移：枚举行数p(从2开始)，上一行的状态i和这一行的状态j，若i合法、j合法且i和j的组合合法，枚举决策k,k表示前i行放的国王数，$f[p][k+cnt[j]][j] = \Sigma f[p-1][k][i],cnt[i]<=k<=m-cnt[j]$
  初始化：第一行，枚举状态i，若i合法，f[1][cnt[i]][i]=1，否则为0。
  答案：$ans=\Sigma f[n][m][i],1<=i<=2^n-1$
  时间复杂度：$O(4^nnk)$，这是上限，一般达不到
  空间复杂度：$O(4^n)$，足够了

• Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 9;
int n, m, cnt[1 << maxn];
ll f[maxn + 1][65][1 << maxn], ans, tot;
bool sline[1 << maxn], dline[1 << maxn][1 << maxn];
void read(int &a)
{
    int f = 1;
    char ch = getchar();
    a = 0;
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
        if(ch == ‘-‘) f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
        a = a*10 + ch - 48;
        ch = getchar();
    }
    a *= f;
}
void write(ll a)
{
    int top = 0;
    char ch[maxn << 2];
    if(a < 0)
    {
        putchar(‘-‘);
        a = -a;
    }
    do {
        ch[top++] = a%10 + 48;
        a /= 10;
    } while(a);
    while(top--) putchar(ch[top]);
    putchar(‘\n‘);
}
void init()
{
    read(n); read(m);
    tot = (1 << n) - 1;
    for(int i = 0; i <= tot; ++i) if(((i >> 1) & i) == 0)
    {
        for(int j = i; j > 0; j >>= 1) cnt[i] += (j & 1);
        sline[i] = true;
    }
    for(int i = 0; i <= tot; ++i) if(sline[i])
        for(int j = 0; j <= tot; ++j) if(sline[j])
            if((i & j) == 0 && ((i >> 1) & j) == 0 && ((j >> 1) & i) == 0)
                dline[i][j] = true;
    for(int i = 0; i <= tot; ++i) if(sline[i]) f[1][cnt[i]][i] = 1;
}
void work()
{
    for(int p = 2; p <= n; ++p)
        for(int i = 0; i <= tot; ++i) if(sline[i])
            for(int j = 0; j <= tot; ++j) if(sline[j])
                if(dline[i][j])
                    for(int k = cnt[i]; k + cnt[j] <= m; ++k)
                        f[p][k + cnt[j]][j] += f[p - 1][k][i];
    for(int i = 0; i <= tot; ++i) ans += f[n][m][i];
    write(ans);
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}