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POJ - 1067 - 取石子游戏 (威佐夫博奕)

时间:2015-05-03 09:25:25      阅读:195      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:acm   poj   博弈   


题目传送:取石子游戏




威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。


这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。


可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:


1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。


由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。


2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。


事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。


3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。


 


假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。


从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。


那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:


ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)


奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。


前几个必败点如下:(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)……可以发现,对于第k个必败点(m(k),n(k))来说,m(k)是前面没有出现过的最小自然数,n(k)=m(k)+k。
判断一个点是不是必败点的公式与黄金分割有关:
m(k) = k * (1 + sqrt(5))/2
n(k) = m(k) + k;




AC代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <cctype>
#define LL long long
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;

int main() {
	int a, b;
	while(scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
		if(a > b) swap(a, b);
		int k = (int)(a * (sqrt(5.0) - 1) / 2) + 1;
		int t = k * (sqrt(5.0) + 1) / 2;
		if(a == t && b == t + k) {
			cout << "0" << endl;
		}
		else cout << "1" << endl;
	}
	return 0;
}



AC代码②:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <cctype>
#define LL long long
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;

int main() {
	int a, b;
	while(scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
		if(a > b) swap(a, b);
		int k = b - a;
		int t = (int) (k * (sqrt(5.0) + 1) / 2);
		if(t == a) {
			printf("0\n");
		}
		else printf("1\n");
	}
	return 0;
}







POJ - 1067 - 取石子游戏 (威佐夫博奕)

标签:acm   poj   博弈   

原文地址:http://blog.csdn.net/u014355480/article/details/45442545

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