标签：算法 组合游戏 博弈 数学
这几天开始学习博弈，发现这一块是个难啃的骨头。以下是我从网上收集的资料汇总：
我国民间有个古老的游戏：就是有物品若干堆，（物品可以是火柴，围棋都可以）。两个人轮流从堆中取若干件，规定取光物体者为胜。这个就是我们今天要研究的组合游戏。
组合游戏定义：
1、有且仅有两个玩家 2、游戏双方轮流操作 3、游戏操作状态是个有限的集合（比如：取石子游戏，石子是有限的，棋盘中的棋盘大小的有限的） 4、游戏必须在有限次内结束 5、当一方无法操作时，游戏结束。
现在我们来研究如何取胜:
（一）巴什博奕（Bash Game）：有一堆n个物品，两人轮流从堆中取物品，每次取 x 个 （ 1 ≤ x ≤ m）。最后取光者为胜。
如果 n = m + 1， 一次至多取 m 个，所以无论先取者，取了多少个，一定还剩余 x 个（ 1 ≤ x ≤ m）。所以，后取者必胜。因此我们发现了取胜的秘诀：如果我们把 n 表示为
n = (m + 1) * r + s 。（0 ≤ s < m , r ≥ 0）。先取者 拿走 s 个, 后取者 拿走 k 个 (1 ≤ k ≤ m)，那么先取者 再 拿走 m + 1 - k 个。结果还剩下 ( m + 1 ) * ( r - 1 ) 个。我们只要始终给对手留下 m + 1 的倍数，那么 先取者 肯定必胜。 现在 我们可以知道，如果 s = 0，那么后取者必胜。 否则 先取者 必胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)( a[k] 其中 k 为下标 )表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a[0] = b[0] = 0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k] = a[k] + k。
奇异局势的性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有a[k] > a[k-1] ，而 b[k] = a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（a[k]，b[k]）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（a[k]，b[k]）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a , b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果 a = a[k] ，b > b[k] ,那么，取走b - b[k]个物体，即变为奇异局势；如果 a = a[k] ， b < b[k] 则同时从两堆中拿走a - a[b-a] 个物体(如果不懂为什么减去a - a[b-a]，详见文章最后的注释1)变为奇异局势（
a[b-a], a[b-a] + b - a）；如果a > a[k] ，b= a[k] + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - a[k] 即可；如果a < a[k] ，b= a[k] + k,分两种情况，第一种，a=a[j] （j < k）从第二堆里面拿走 b - b[j] 即可；第二种，a=b[j] （j < k）从第二堆里面拿走 b - a[j] 即可。
由上述性质可知，如果双方都采取正确操作，那么面对非奇异局势，先取者必胜。
那么我们要如何判断一个局势是否为奇异局势？公式如下：
a[k] = [k（1+√5）/2]（a[k]这个方括号为下标运算符，[k（1+√5）/2]这个方括号为取整运算符），b[k] = a[k] + k 。奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由a[k]，b[k]组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出 j = [a（√5-1）/2]，若 a = [ j（1+√5）/2]，那么a = a[j]，b[j] = a[j] + j，若不等于，那么a = a[j]+1，b = a[j] + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
注意到异或运算的交换律和结合律，及a（+）a=0，:
a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。
所以从一个非奇异局势向一个奇异局势转换的方式可以是：
1）使 a = c（+）b
2）使 b = a（+）c
3）使 c = a（+）b
必胜点和必败点的概念：
P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
必胜点和必败点的性质：
1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）
2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。
3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。
注释1：因为奇异局势的项数是有 b[k] - a[k] 的差决定，每一个奇异局势的项数都是独一无二的。也就是说，我们 只能将 (a , b) (a = a[k], b < b[k])转化为 （a[b-a], b[b-a]）。因为他们的差是确定的始终都是 b-a，故可以转化为 第 b-a 项。由此我们可以 将 (a , b) (a = a[k], b < b[k])
转化为奇异局势 （a[b-a], b[b-a]）也就是 （ a[b-a], a[b-a] + b - a）。所以我们可以逆推得出，只要将 两边 同时减去 a - a[b-a] 即可。
其他有关博弈的资料，会继续整合到这篇博客
组合博弈入门小结（更新中）
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原文地址：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073
