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传送门： 随机斐波那契
大家对斐波那契数列想必都很熟悉:
a0 = 1, a1 = 1, ai = ai-1 + ai-2,(i > 1)。
现在考虑如下生成的斐波那契数列:
a0 = 1, ai = aj + ak, i > 0, j, k从[0, i-1]的整数中随机选出（j和k独立）。
现在给定n，要求求出E(an)，即各种可能的a数列中an的期望值。
一行一个整数n，表示第n项。(1<=n<=500)
一行一个实数，表示答案。你的输出和答案的绝对或者相对误差小于10-6时被视为正确答案。
共存在3种可能的数列
1,2,2 1/4
1,2,3 1/2
1,2,4 1/4
所以期望为3。
2
3.000000
分析：这道题要特别注意j和k独立这个条件，在这个条件下我们可以得到E(an)（以下简写成E[n]）的一个表达式
E[n] = 2*S[n-1] / n，
其中Sn定义成
S[n] = E[0] + E[1] + E[2] + .... + E[n]
下面我将从上面的两个式子出发推出E[n]关于n的表达式。
由
E[n] = S[n] - S[n-1]
及
E[n] = 2 * S[n-1] / n
消去S[n]得到
E[n] = 2 * S[n-1] / n
即
n * E[n] = 2 * S[n-1]
从而亦有
(n+1) * E[n+1] = 2 * S[n]
将上面两式和第一式相结合即可得到
(n+1) * E[n+1] - n * E[n] = 2 * E[n]
亦即
E[n+1] / E[n] = (n+2) / (n+1)
进而得到
E[n] = (n+1) E[0] = n+1
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Patt/p/4477984.html
