最长公共子序列（LongestCommonSubsequence Problem;LCS）

问题描述

给定两个序列$X={x_1,x_2,x_3...,x_m}$和$Y={y_1,y_2,y_3,...,y_n}$，求X和Y的最长公共子序列。

例子：$X={A,B,C,B,D,A,B}$，$y={B,D,C,A,B,A}$,最长公共子序列为${B,C,B,A}$。

注意：最长公共字串（LongestCommonSubstring）要求元素必须连续，最长公共子序列不要求，只要求子序列前后顺序不变。

问题意义：一种衡量两个序列“相似度”的方法，最长公共子序列越长，两者相似度越高。
补充：其他衡量两个序列/串相似度的方法：
1.如果，将一个串转换成另一个串的所需的操作步骤很少，那么两者是相似的；（《编程之美》字符串距离；《算法导论》15-5编辑距离）
2.如果一个串为另一个串的子串，那么两者是相似的。（字符串匹配）

解题思路

1.暴力破解法：X的子序列共有2^m种，对于每一种X的子序列判断是否为Y的子集，Y的子序列有2^m种，需要指数级别的时间复杂度O(2^(m+n))。
2.动态规划法，时间复杂度O(m*n)。

动态规划

1.刻画LCS最优解的结构特征

定义：$X={x_1,x_2,x_3...,x_m}$的第i个前缀为$X_i={x_1,x_2,x_3...,x_i}$ (i<=m,i=0的Xi为空串)
令$X={x_1,x_2,x_3...,x_m}$和$Y={y_1,y_2,y_3,...,y_n}$为两个序列，$Z={z_1,z_2,z_3,...,z_k}$为$X$和$Y$的任意LCS。
LCS的最优子结构：
1.如果$x_m=y_n$，则$z_k=x_m=y_n$且$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个LCS。
2.如果$x_m \neq y_n$，那么$z_k \neq x_m$意味着$Z$是$X_{m-1}$和$Y$的一个LCS。
3.如果$x_m \neq y_n$，那么$z_k \neq y_n$意味着$Z$是$X$和$Y_{n-1}$的一个LCS。

2.一个递归的求解方案

设计LCS的算法首先要建立最优解的递归式。我们定义$c[i,j]$表示$X_i$和$Y_j$的LCS的长度，根据LCS问题的最优子结构性质，可得到如下公式：
$c[i,j]=0,若i=0或j=0$
$c[i,j]=c[i-1,j-1]+1,若i,j>0且x_i=y_j$
$c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1]),若i,j>0且x_i \neq y_j$

3.计算最优代价

LCS问题只有O(m*n)个不同的子问题，可以用自底向上的动态规划算法实现。
表b用于构造最优解，表c用于用于记录LCS长度，伪代码如下：

LCS-LENGTH(X,Y)
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m,1..n] and c[0...m,0...n] be new tables
for i = 1 to m
  c[i,0] = 0
for i = 1 to n
  c[0,i] = 0
for i = 1 to m
  for j = 1 to n
    if xi = yj
      c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
      b[i,j] = ‘↖‘
    elseif c[i-1,j] >= c[i,j-1]
      c[i,j] = c[i-1,j]
      b[i,j] = ‘↑‘
    else
      c[i,j] = c[i,j-1]
      b[i,j] = ‘←‘
return b and c

4.构造最优解

利用表b构造出最优解，起始调用为PRINT-LCS(b,X,X.length,Y.length)
伪代码如下：

PRINT-LCS(b,X,i,j)
if i == 0 or j == 0
  return
elseif b[i,j] == ‘↖‘
  PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1)
  print xi
elseif b[i,j] == ‘↑‘
  PRINT-LCS(b,X,i-1,j)
else
  PRINT-LCS(b,X,i,j-1)

优化

1.去除表b，只利用c重构出LCS的元素。
2.如果只计算LCS的长度，不需重构LCS中的元素，那么c表只需要两行就可以了，空间需求减少为O(min(m,n))。