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贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）为名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的A000110数列）：
Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：
B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成员），而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。
贝尔数适合递推公式：
上述组合公式的证明：
可以这样来想，B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素
假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为
；
假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 
；
假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 
；
依次类推，得到了上述组合公式
它们也适合“Dobinski公式”：
它们也适合“Touchard同余”：若p是任意质数，那么
每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和
Stirling数S（n, k）是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式，其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。
贝尔数的指数母函数是
用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：
）
）
）结果如下：（OEIS:A011971）
每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。
这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken‘s array, Peirce triangle）。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/yuyixingkong/p/4480349.html
