LeetCode (36) Count Primes

题目描述

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n。

本题要求我们求出小于n的数中共有多少个质数。相信大部分同学在刚开始学习C语言的时候估计都写过判断一个数为质数的程序。一般的思路为：

bool isPrime(int num)   {
    int s = sqrt(num) + 1;
    for( int i = 3; i != s; ++i)   {
        if (num mode i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

但是若对小于n的每一个数进行上述计算，会重复很多次，效率很低。

这里LeetCode给出了两个提示链接：

• How Many Primes Are There?
• Sieve of Eratosthenes

第一个链接给出了本题答案的近似估计公式，第二个介绍了一种很好的算法。这里介绍一下第二种思路，想了解得更全面的同学，请猛戳上面的第二个链接。

• 我们知道2是最小的质数，那么2的倍数均不为质数（因为它们可以分解为一个数*2），所以我们可以将小于n的数中2的倍数，全部排除掉。
• 排除掉2的整数倍后，剩下的数中大于2的最小的数就是下一个质数，也就是3.
• 同样我们可以排除掉小于n的数中3的整数倍的数，得到下一个质数为5.

根据上述思路处理，直到获得所有的质数为止。

这里还可以进行一个优化，即对于质数 p，排除掉p的整数倍后，剩下的元素中满足 $p < k < p*p$的元素k均为质数。这里简单证明一下：

• 每个非质数均可以分解为若干个（$>2$，否则$k$本身为质数）质数的乘积： $k = p_1 * p_2 * \cdots * p_m$；
• 对于满足$p < k < p*p$的元素来说，如果$k$不为质数，则$k$可以分解为$k = p_1 * p_2 * \cdots * p_m$，其中必然有一个质数满足 $p_i < p$；
• 这里用反证法证明。若$k = p_1 * p_2 * \cdots * p_m$中每一个质数均$p_i > p$；则有$k > p * p$，超出限定的条件$p < k < p*p$，所以该非质数已经在前面的处理过程中排除掉了。

参考下图可以更容易了解（这里盗一下wiki的图~~）

代码

本题使用动态数组表示小于n的每个元素是否为质数，效率比较高，下面的代码时间为50+ms， 我试过用vector时间一下子到了800+ms，太可怕了。

class Solution {
public:

    int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        bool *p = new bool[n];
        memset(p, true, sizeof(bool) * n);
        for (int i = 2; i * i < n; i++)
        {
            if (p[i])
            {
                for (int j = 2; j * i < n; j++)
                    p[i * j] = false;
            }
        }

        int cnt = 0;
        for (int i = 2; i != n; i++)
            if (p[i])   cnt++;
        delete[] p;
        return cnt;
    }
};