说文解字----矩阵分析（一）基本概念辨识

近期学习了矩阵分析，在接下来的几篇文章中将进行总结。由于理解能力有限，我将更倾向于对矩阵的直观理解。水平有限，诸多错误恳请大家批评

**一、空间和子空间（space & subspace）

首先来一点高大上的定义：

设$V$是一个非空集合，在$V$的元素中规定了“加法”运算，在实数域$R$和$V$的元素中规定了称之 为“数乘”的运算，若V对这两种运算封闭，即对任意$\alpha$和$\beta$ $\in V$都有$\alpha + \beta \in V$,以及对任何$k \in R$和$\alpha \in V$都有$k \alpha \in V$,且这两种运算满足八条运算律：
1. $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
2. $(\alpha + \beta) + \gamma=\alpha +( \beta + \gamma)$
3. 对$V$中的存在零元素$\theta$，对任意$\alpha \in V$都有$\alpha + \theta = \alpha$
4. 对任何$\alpha \in V$,都有的复元素$\beta \in V$ 使得$\alpha + \beta =\theta$
5. $1 \alpha = \alpha$
6. $k(l \alpha)= (kl) \alpha$
7. $(k+l)\alpha = k \alpha + l \alpha$
8. $k(\alpha +\beta)=k\alpha +k \beta$
（西北工业大学：线性代数）

但看这些定义可能比较适合我们做些判断题，但是对于直观理解来说，似乎有点牵强了点。引述孟老师（http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018）来说，就是数学倾向于强调严密性而忽略直观性。但是个人以为这种直观性的忽略并不太利于我们发散思维举一反三，所以在正统教材之外，应该有点野史发散一下思维也好。我们从分析上面的定义开始，个人理解所谓空间是一类集合的统称，这个集合的元素对加法和乘法封闭，也就是你在这个集合里面加或者乘，所得的结果仍然属于这个集合。举个例子，我们所熟悉的二维平面就是一个线性空间，二维平面内有众多的二维向量，所有这些向量的组合构成了我们的二维平面（空间）。我们可以想象，从这个平面里面任意挑出若干元素加或者乘，所得的结果肯定依旧在这个平面内。这样，我们可以从低维的角度较直观的考虑这个问题。