第九章

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\section*{习题 9-1}

1. (4) 考虑参数 $x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$, 注意到曲线只需由一个参数给出，所以需要建立起 $r$ 与 $\theta$ 的关系。代入 $L$ 的方程得到
$
r^2 = a r\cos \theta
$, 即 $r=a\cos\theta$. 因此
\[
\mbox{原式}= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} a\cos\theta \sqrt{ { a^2}{} \sin^2 2\theta +
{a^2}{} \cos^2 2\theta} d\theta
=2a^2\int_0^{\pi/2} \cos \theta d\theta = 2a^2.
\]
其中 $-\pi/2$ 以及 $\pi/2$ 是由 $x^2+y^2=ax$ 给出。

(8) 由
\[
\begin{cases}
x^2+y^2 +z^2 =4
\\
z=\sqrt 3
\end{cases}
\]
解得
\[
\begin{cases}
x^2+y^2 =1
\\
z=\sqrt 3
\end{cases}
\]
即考虑 $x=\cos \theta, y=\sin \theta, z=\sqrt 3$, 因此
\[
\mbox{原式}= \int_{-\pi}^{\pi } \cos^2 \theta \sqrt{\cos^2 \theta +\sin^2 \theta+ 0} d\theta 
= 2 \int_0^\pi \cos^2 \theta d\theta = \int_0^{\pi} 1+\cos 2\theta d\theta
=\pi.
\]

\section*{习题 9-2}

1. (5) 注意绝对值，而且 $\wideparen{CA}$ 中 $y=0$, 因此
\[
\mbox{原式} = \int_{\wideparen{AB}} |y| dx +|x|dy+ \int_{\wideparen{BC}} |y| dx +|x|dy+
\int_{\wideparen{CA}} | y| dx +|x|dy
= \int_{\wideparen{AB}} y dx +xdy+ \int_{\wideparen{BC}} y dx -xdy
\]
而
\[
\int_{\wideparen{AB}} y dx +xdy
= \int_1^0 (1-x-x) dx =0, \qquad
\int_{\wideparen{BC}} y dx -xdy
= \int_0^{-1} (x+1-x) dx=-1.
\]
因此
\[
\mbox{原式}= -1.
\]

(7) 以 $x$ 为参数，首先写出过两点的直线方程
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3},
\]
即
\[
\mbox{原式} =\int_1^2 x+ 2 (2x-1) +3 (x+2x-1-1) dx
= 13.
\]

4. (1) 沿直线的方向余弦为 $\{ 1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2 \}$, 因此
\[
\mbox{原式}= \int_L \frac{P(x,y) + Q(x,y)}{\sqrt 2} ds
\]

(3) 因为是上半圆，即 $y=\sqrt{2x -x^2}$, 求相应的切向量为 $\{1, \frac{1-x}{\sqrt {2x- x^2}}\}$, 单位得 $\{\sqrt{2x-x^2},1-x\}$, 即
\[
\mbox{原式}= \int_L (P(x,y) \sqrt{2x-x^2} + Q(x,y) (1-x) ) ds.
\]

若使用极坐标, $x= 1+\cos 2\theta, y= \sin 2\theta$, $\theta$ 从 $\pi/2$ 变到 $0$. 此时单位切向量为 $\{ -\sin 2\theta , \cos 2\theta \}$.

特别注意到, 实际上对于 $L$ 上一点都有两个切向量，一个为 $\{ -\sin 2\theta , \cos 2\theta \}$, 另一个为 $\{ \sin 2\theta , -\cos 2\theta \}$. 选择哪个呢？判断标准是该曲线的向，注意到此时是上半圆，所以在该向下，一开始切向量应该是两个分量都为正的。这里 $\theta$ 从 $\pi/2$ 变到 $0$, 因此要选择 $\{ \sin 2\theta , -\cos 2\theta \}$。这样
\[
\mbox{原式}= \int_L (P(x,y) \sin 2\theta - Q(x,y) \cos 2\theta ) ds
=\int_L (P(x,y) y + Q(x,y) (1-x) ) ds
.
\]
所以，选择不同的切向量可能会使得结果差一个符号，所以要根据曲线的向判断取哪一个切向量，某些时候直接计算出来的切向量并不是我们要的那个！

第九章

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