Codevs3753磁阵突围题解

• 题目描述 Description
  落冰从悬崖上被冲下，虽有落令的精魂保护大难不死，但已消耗了大半法力。此时的棂刚刚也连续经历了三场恶战，身负重伤。夜色中他们急于撤出迷雾丛林，途中却被拉尔法的磁阵困住。这个磁阵专门用来对付落冰，由于洛伦兹力的作用，为避免给自己造成伤害，落冰被迫把自身的电流降到接近0，也因此暂时失去了攻击能力。拉尔法得意地阴笑着，因为他看出了棂的重伤，并认为自己可以轻易战胜棂。
  然而，身经百战的棂早已看穿了一切，他知道拉尔法用大脑控制磁阵。棂和拉尔法之间的磁阵可以看作一个a行b列的矩阵。（他们都在矩阵的外面）棂可以在短时间内控制少量的γ光子，这些光子可以从某一列的任何一个格子出发，到达下一列的任何一个格子，（当然光子一开始从棂出发，可到达第1列的任何一个格子；也可以从第b列——即最后一列——的任何一个格子出发到达拉尔法）当光子到达拉尔法所在的位置时，虽然伤害可以忽略不计，但光子可以对拉尔法的大脑造成扰动（大脑的思考是在量子层面的嘛），然后磁阵强度就会有一定程度的削弱。并且光子到达拉尔法的不同路径数越多，对拉尔法造成的扰动就越大，磁阵削弱得也越厉害。
  这里一条路径指的是光子从棂出发经过b列之后到达了拉尔法所经过的路径。光子只能从某一列到下一列，不能返回到前面的列，也不能在同一列的两个格子运动。
  现在，棂想知道一共有多少种不同的路径，然后他就可以心算出光子对拉尔法造成的扰动和磁阵被削弱的程度，并挑选合适的符咒发动攻击。棂没带笔记本，因此他通过虚数空间把a和b的值告诉了梦中的晓筱。然而晓筱梦见了一个令人费解的数p，经过一番思索，她认为p也是棂告诉的，意思是把答案mod p，因为棂总是很关心她，不想麻烦她写高精。但晓筱参透了p的含义以后，剩余的脑细胞不足以计算出总路径数，于是她请精通OI的你来帮她。

• 输入描述 Input Description
  只有一行，有3个整数a,b,p，含义同题目描述。

• 输出描述 Output Description
  只有一个整数，为总路径数mod p以后的值。

• 样例输入 Sample Input
  样例输入1：
  2 10 1000
  样例输入2：
  3 6 1000

• 样例输出 Sample Output
  样例输出1：
  24
  样例输出2：
  729

• 数据范围及提示 Data Size & Hint
  对于20%的数据，$b \le 10^5$;
  对于40%的数据，$b \le 10^{50}$;
  对于100%的数据，$a,p \le 10000; b \le 10^{1000000}$;
  数据全部随机；
  （感觉这样的数据规模并不够大）

• 题解
  一件事：找到一条路径；
  完成这件事可以分b步，其中每一步都有a种方案；
  根据分步乘法计数原理，总方案数=$a^b$，本题就转化成了求$a^b \mod p$了。
  套公式$a^b \mod p=a^{(b \mod \varphi(p))+\varphi(p)}\mod p,b \ge \varphi(p)$，大整数的处理方式与fzu1759如出一辙，数据还弱不少，直接拿1759代码改一改就行了。

• Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
char ch[1000010];
inline ll singleEulerPhi(ll a)
{
    ll ans = a;
    for(ll i = 2; i <= (ll)sqrt(a * 10); ++i) if(a % i == 0)
    {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while(a % i == 0) a /= i;
    }   
    if(a > 1) ans = ans / a * (a - 1);
    return ans;
}
inline ll quickPow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    for(ll t = a; b; b >>= 1, t = (t % m) * (t % m) % m)
        if(b & 1) ans = (ans % m) * (t % m) % m;
    return ans;
}
inline void write(ll a)
{
    int top = 0;
    char ch[50];
    if(a < 0)
    {
        putchar(‘-‘);
        a = -a;
    }
    do {
        ch[top++] = a%10 + 48;
        a /= 10;
    } while(a);
    while(top--) putchar(ch[top]);
    putchar(‘\n‘);
}
int main()
{
    ll a, b, c, phi, len;
    scanf("%lld", &a); scanf("%s", &ch); scanf("%lld", &c);
    len = strlen(ch); phi = singleEulerPhi(c);
    b = 0LL;
    for(int i = 0; i < len; ++i)
    {
        b = b * 10 + ch[i] - 48;
        b %= phi;
    }
    write(quickPow(a, b, c));
    return 0;
}