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我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数\(f:A\mapsto A\)也被称为集合\(A\)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合\(A\)上的\(n\)元运算。集合\(S\)以及其上的一些运算\(f_1,f_2,\cdots,f_m\)组成的系统叫代数系统（algebraic system），在不混淆的情况下也可用\(S\)表示这个代数系统。代数系统可以让我们抛开具体运算对象，而只关注于它们共有的结构和性质。
\[f:A\times A\times\cdots\times A\mapsto A\tag{1}\]
二元运算是最常见的运算，比如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统，参照的例子主要是来自数论和置换变换。下面的讨论，在思想分析上会比较啰嗦一点，但这些正是抽象代数的精髓，某些证明过程和结果反而不那么重要。希望你可以在学习时，经常合上书本，自己重新构建这些理论，体验抽象代数的思维。
我们先把问题简单化，研究只有一个二元运算的代数系统，那么如何研究？对于这个运算本身需要研究它形式上的特点，而对于整个代数系统还需要分析其结构特点。我们用特定的符号\(a\circ b\)来表示要研究的二元运算\(f(a,b)\)，有时也简写为\(ab\)，并且说成是“乘法”，这个代数系统简单记为\(\langle S,\circ\rangle\)。如果还有另一个系统\(\langle G,\star\rangle\)，它们之间有一一映射\(f:S\mapsto G\)，并且满足下式，则这两个系统称为同构的（isomorphic），记作\(S\cong G\)。显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全一样的，本质上可以不加区分。
\[f(a\circ b)=f(a)\star f(b)\tag{2}\]
从运算的形式上看，有两种比较重要的性质是需要研究的，一个就是运算的“叠加”，另一个就是变量的位置互换。运算的“叠加”是指变量本身又是另一个运算的结果，比如\((a\circ b)\circ(c\circ d)\)。我们大部分研究对象的运算都满足下式的特点，它称为运算的结合律。结合律在数学中非常普遍，是一个非常基础的运算律，我们就从这里开始。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关，而与运算顺序无关。直观地讲，一串运算，无论如何添加括号限制运算顺序，结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为半群，半群的性质过于简单，它不会有很特殊的结构，必须结合一些其它的性质才行。
\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\tag{3}\]
对于很多运算，运算结果是依赖于变量的顺序的，\(a\circ b\)与\(b\circ a\)不一定相等，比如置换和矩阵乘法。反之，如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到，交换律在很多场合是不满足的，由此一般也不假定它成立，这一点大家要做好思维上的适应。交换律使得变量顺序不再重要，它和结合律共同作用的结果就是，运算结果仅与变量有关，它们的顺序可以随意安排。
\[a\circ b=b\circ a\tag{4}\]
前面两段讨论的是运算本身的形式特点，它们还构成不了十分有趣的代数系统，现在需要对系统的结构作一些限制。所谓系统的结构，当然体现在变量与运算结果的关系。首先是不是所有元素都可以成为结果，最简单的是对某个元素\(a\)，我们希望存在一个数\(e\)使得下式至少一个成立，并且最好这个\(e\)对所有元素都成立。基于这样的要求，分别定义对所有元素满足下式的元素为左（右）单位元。左（右）单位元不定都存在，但如果都存在，我们可以有\(e_l=e_r=e_l\circ e_r\)，它们是相等的！这种情况则统称为单位元（identity）（显然唯一），而含有单位元的半群叫幺半群。
\[e_l\circ a=a,\quad a\circ e_r=a\tag{5}\]
单位元实现了我们一个朴素的目标：任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求，就是式（6）的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求，因为一次方程都没有解的话，这个系统是很难玩得转的。如果要求\(ax=b\)有解，比较直观的方法是要求两边可以“除以”\(a\)，或“乘以”\(a\)的逆\(a_l^{-1}\)，得到\(x=a_l^{-1}b\)。换句话说就是要求存在逆，分别使得式（7）成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。
\[a\circ x=b,\quad y\circ a=b\tag{6}\]
\[a_l^{-1}\circ a=e,\quad a\circ a_r^{-1}=e\tag{7}\]
如果左（右）逆元同时存在，则\(a_l^{-1}=a_l^{-1}\circ(a\circ a_r^{-1})=(a_l^{-1}\circ a)\circ a_r^{-1}=a_r^{-1}\)，它们是又是相等的，这时统称为逆元（inverse）（显然唯一）。根据式（8）可知\(a\)同时也是\(a^{-1}\)的逆元，并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子（9）的性质，这个形式大家并不陌生。
\[a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e,\quad (a^{-1})^{-1}=a\tag{8}\]
\[(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\tag{9}\]
逆元的存在使得“除法”成为可能，它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是，当\(x\)遍历群时，\(ax\)（或\(xa\)）会遍历整个群。因为若\(ax=ay\)，两边乘以\(a^{-1}\)，则有\(x=y\)。这个性质又叫消去律，如果把整个运算列成一张矩阵的表，则矩阵的每行和每列都包含整个群，且没有重复元素。这个性质非常重要，以后你还会看到它。
存在逆元的幺半群叫群，我们的主角就这样登场了。总结一下，齐集结合律、单位元和逆元这三大基本性质的代数系统就是群，一般用字母\(G,H,K\)表示。如果再满足交换律，它就叫交换群（commutative group）（或Abel群（Abelian group））。集合的元素个数\(|G|\)称为群的阶（order），显然有有限群和无限群。有了这三个性质，尤其是逆元的存在，群有着非常有趣的结构，后面会慢慢展开讲述。
值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些冗余的，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元（或右单位元和右逆元）。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意\(a\)，存在\(e_l\circ a=a,a_l^{-1}\circ a=e_l\)，求证\(e_r,a_r^{-1}\)的存在性。首先记\(a‘=(a_l^{-1})_l^{-1}\)，则有\(a\circ a_l^{-1}=(a‘\circ a_l^{-1})\circ(a\circ a_l^{-1})=e_l\)，从而\(a\circ e_l=a\circ(a_l^{-1}\circ a)=e_l\circ a=a\)。这样\(e_l\)同时还是右单位元，由前面的讨论知它就是单位元\(e\)。那么再由刚才的\(a\circ a_l^{-1}=e_l=e\)可知\(a_l^{-1}\)还是右逆元，故有逆元\(a^{-1}\)。
还有一点需要注意，方程（6）有解和消去律中其实并没有单位元和逆的概念，它们与逆之间是否有等价关系？其实不一定成立，但在某些情况还是等价的，请思考如下问题。
• 满足方程（6）都有解的半群是群；（提示：证明单位元和逆存在）
• 同时满足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上题结论）
群的例子非常普遍，比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换，以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法，都容易证明它们是群。还有一些著名的群，它们元素个数很少，但结构却不简单，应用也很广泛。比如著名的四元数群\(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\)，它满足下表的运算律，它们就是四元数的单位元，是比复数更一般的数系（以后可能会介绍）。
| \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
| \(i\) | \(i\) | \(-1\) | \(k\) | \(-j\) |
| \(j\) | \(j\) | \(-k\) | \(-1\) | \(i\) |
| \(k\) | \(k\) | \(j\) | \(-i\) | \(-1\) |
还有就是以下Klein四元群\(K_4=\{1,i,j,k\}\)，本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子，你需要品味一下它们的特点，并带入后续的讨论中。
| \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) | |
| \(1\) | \(1\) | \(i\) | \(j\) | \(k\) |
| \(i\) | \(i\) | \(1\) | \(k\) | \(j\) |
| \(j\) | \(j\) | \(k\) | \(1\) | \(i\) |
| \(k\) | \(k\) | \(j\) | \(i\) | \(1\) |
说了这么多，我们还只是给群下了定义，以后的任务就是要研究它的结构，从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是分解，将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象，结构自然就清楚了。同样道理，我们也希望将群拆解为结构更简单的小群，这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义，它首先必然是群的子集，并且在同样的运算下能独立成群，这样的子集被称为子群（subgroup）。
若\(H\)是\(G\)的子群，一般记作\(H\leqslant G\)，显然\(\{e\}\)和\(G\)都是\(G\)的子群，它们也叫平凡子群。如果\(H\neq G\)，\(H\)叫做\(G\)的真子群（proper subgroup），记作\(H<G\)。由于子群完全继承了父群运算，因此必定满足结合律，并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺，该有的元素（单位元和逆元）都要有，运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式，才能给出子群的严格定义。对于\(G\)的一个非空子集\(H\)，如果满足式子（10）中的条件，它就是\(G\)的子群。另外容易证明，这三个条件其实和式子（11）的条件是等价的，它一般被用作子群的判定条件。
\[H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad e\in H\:\wedge\:(\forall a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H)\:\wedge\:(\forall a,b\in H\Rightarrow ab\in H)\tag{10}\]
\[H\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\tag{11}\]
如果子集\(M\)不满足子群的条件怎么办？你当然可以把需要的元素一个个补齐，最终满足条件的子群就叫的生成子群，记作\(\langle M\rangle\)。当然，你可以给出生成子群的精确定义：包含\(M\)的最小子群。只有一个元素\(a\)生成的子群又叫循环群\(\langle a\rangle\)（cyclic group），\(a\)叫做它的生成元（generator）。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群，并且循环群显然是交换群。
虽然定义了子群，但分解群的任务还很重，这里我们暂且休息一下，从最简单的循环群研究起。一个循环群中无非是这样的元素：\(\cdots,a^{-1}a^{-1},a^{-1},e,a,aa,\cdots\)。类似数系中的幂运算，我们可以引入指数记号\(a^n\)表示循环群中的每一个元素，你可以证明它完全满足指数的常规性质（公式（12）（13））。
\[a^0=e,\quad a^n=a^{n-1}a,\quad a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}\tag{12}\]
\[a^{m+n}=a^ma^n,\quad a^{mn}=(a^m)^n\tag{13}\]
在任何群中，如果有最小\(n>0\)的使得\(a^n=e\)，那么称\(n\)为\(a\)的阶（order），记作\(|a|\)。如果不存在这样的\(n\)，则称\(a\)的阶为无穷大，也记作\(|a|\)。阶的性质和我们在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样，这里就不赘述了，你有必要回头去看看。
在循环群\(\langle a\rangle\)中，如果\(|a|=n\)，则显然它和有原根的既约剩余系同构：\(a,a^2,\cdots,a^n\)，并且有\(\varphi(n)\)个生成元。当\(a\)的阶为无穷大时，它和整数加法群同构：\(\cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots\)，其中只有\(a,a^{-1}\)两个生成元。下面有一些阶和子群的习题，难度不大，但颇具思考价值：
• 有限子集\(H\)是子群的充要条件是：对任何\(a,b\in H\)，总有\(ab\in H\)；
• 求证：\(|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|\)，\(|ab|=|ba|\)，\(|abc|=|bca|=|cab|\)；
• 求证：有限群中阶数大于\(2\)的元素有偶数个；
• 如果\(H<G\)，求证\(\langle G-H\rangle=G\)。
说完了最简单的群，现在来看最“完整”的群。前面我们看到群\(G\)中的任何元素\(a\)使得\(aG\)遍历整个群，\(a\)和\(G\)上的一个双射变换相对应。而容易证明，集合\(G\)上的所有双射变换\(S(G)\)组成一个群，并且\(G\)是\(S(G)\)的子群。一般地，集合\(M\)上的所有双射变换组成的群\(S(M)\)叫\(M\)上的对称群（symmetric group）。当\(|G|=n\)时，又可记作\(S_n\)，叫\(n\)次对称群。显然每个\(n\)阶群都同构于\(S_n\)的某个真子群，而阶为无穷的群也同构于\(S(G)\)的某个真子群（凯莱定理）。
这样一来，我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫置换群（permutation group）（因为元素是置换），\(S_n\)的子群叫\(n\)次置换群，这里我们只讨论\(n\)次置换群。将集合中元素用\(1,2,\cdots,n\)编号，每个置换\(\sigma(x)\)可以表示为下式，改变列的顺序并不改变定义。
\[\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\tag{14}\]
考察置换中的映射序列：\(1,\sigma(1),\sigma(\sigma(1)),\cdots\)，容易证明这个序列最终必定会回到\(1\)，这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的，有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换，只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有\(k\)个元素，这样的置换就称为\(k\)-循环置换（或\(k\)-循环），特别地，\(2\)-循环也叫对换。循环置换可表示为下式，其中\(\sigma(a_k)=a_1,\sigma(a_i)=a_{i+1}\)，它的阶显然为\(k\)。
\[\sigma=(a_1a_2\cdots a_k)=(a_2a_3\cdots a_1)=\cdots=(a_ka_1\cdots a_{k-1})\tag{15}\]
这样就可知，任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外，显然不相交循环的乘积是可交换的，故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循环可以分解为一系列对换的乘积（不可交换），故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射，而不是对数的直接操作，否则下面的公式你会觉得困惑（因为与你预期的可能相反）。
\[(a_1a_2\cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2)\tag{16}\]
至此就不能再分解了，我们不禁想问，如果一个置换有不同的分解为对换的方法，那它们的对换个数有什么关系吗？现在需要一个固定的值将它们联系起来，这个值只能从置换\(\sigma\)本身下手。对于数对\(i<j\)，如果\(\sigma(i)>\sigma(j)\)，则称\(i,j\)为一个反序。总反序数是固定的，定义有奇数个反序的置换为奇置换，否则叫偶置换。你可以证明，任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来，这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。
奇偶性是置换的一个符号性质，它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值，可以将偶置换与奇置换一一配对，这样它们就各占一半。另外容易看出，所有偶置换的运算是封闭的，故它们能组成一个群，这个群叫做\(n\)次交错群（alternating group），记作\(A_n\)。考虑以下问题：
• 求证\(\sigma\tau{\sigma}^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(\tau(1))&\sigma(\tau(2))&\cdots&\sigma(\tau(n))\end{pmatrix}\)；
• 求证\(\{(12),(13),\cdots(1n)\}\)和\(\{(12),(12\cdots n)\}\)都是\(S_n\)的生成系。
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