约瑟夫环问题分析

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　　好久没有看有关算法的问题了，今天废了不少劲，再感叹一句：要想学好算法就要常练习，没什么捷径可走。废话不多说，如下：

　　问题描述：有m个人,围成一个环，编号为 0、1、2、3、、、m-1，从第一个人开始循环报数，假设数到n的那个人出列，然后从下一个人继续数数，数到n出列，以此循环，最后那个人为胜利者，求胜利者的编号。
　　分析如下：
设m为人的个数 n为要数的数 k为从第几个人开始数
第一次的数列，记为A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、、、n%m k、、、m-2 m-1
假设第一次出列了一个人，则编号肯定为n%m-1（减1因为从零开始）。k=n%m，第一次出列后的数列为
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、、、k、、、m-2 m-1
第二次从k开始数数那么可以组成新的数列，记为数列B
k->0
k+1->1
k+2->2
k+3->3
、
、
、
k-3->m-3
k-2->m-2
如果我们知道了数列B的最终胜利者是的编号是x，那么x在原来数列A中的编号是多少呢？很容易算出来：(x+k)%m,而k=n%m,替换后为（x+n%m）%m=(x+n)%m，(x+n)%m为数列A的胜利者。那么x又该如何求呢，我们可以求数列C，就这样这么以次类推。直到只有一个人时，胜利者的编号肯定为0.
假设f(y)为胜利者：则有
f(1)=0；
f(2)=（f(1)+n）%2；
f（y）= (f（y-1）+n)%y;（公式） y为数列的人数  n为要数的数

以下为编程实现，将f（y）替换为number   y替换为i

/*********************************************************************** 
**m总人数，则标号为0~m-1   n为要数的数 
**成功返回序号1~m，失败返回-1 
***********************************************************************/  
int winner(int m, int n)  
{  
    int i;  
    int number;  
    if (m <= 0 || n <= 0) {  
        return -1;  
    }  
    number = 0;                        /* 当只有一个人时，编号为0的出圈 */  
    for (i = 2;i <= m;i++) {           /* 循环m-1次将剩下一个人         */  
        number = (number + n % i) % i; /* 这样写易理解，或(number+n)%i  */  
    }  
    return number + 1;                 /* 程序从0编号，返回时应+1       */  
}

约瑟夫环问题分析

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原文地址：http://www.cnblogs.com/mddblog/p/4491443.html