混沌方法的数字图像加密

Abstract:目前混沌系统与加密技术相结合是现如今最热门的一个课题，虽然有大量的加密算法面世，但是这些加密算法并不成熟，仍然需要进一步的研究。本文采用像素位置置乱变换和像素值替代变换相结合的加密思想，设计出一种基于混沌的数字图像加密算法。引入了整数域上的逆仿射变换，算法中采用二维 logistic 混沌映射相结合的方法，生成多组混沌序列，像素置乱变换与灰度值替换都由这些混沌序列所控制。多混沌序列产生的密钥空间大于单一的混沌序列所产生的密钥空间，因此本文研究的算法加密强度很高。

1. 虫口模型—Logistic混沌映射。

Logistic映射是一种可产生的非线性系统，其模型如下所示：

式中:$0<\mu\leq4$;$0<x<1$;$n\in N$;$x_{n}$在区间$[0,1]$上遍历；$mu$为分岔参数。当$3.5699456...<\mu\leq4$时，映射进入混沌(chaos)区域。Logistic映射分岔图像如图1所示。现在这类模型是人们最常见的，更是广为使用的。

图1 Logistic映射分岔图像

clear all
clc
m(1)=0.632;
N=196601;
m1=[];
for u1=2.6:0.02:4
    for i=1:N-1
        m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i));
    end
    m1=[m1 m];
end
plot(m1,‘k.‘)

**2. 像素灰度值替代设计图像加密

设图像$( i ,j )$处的灰度值为 $I ( i ,j )$，满足 $1 ≤i ≤M$、$1 ≤j ≤N$，$I^{‘}( i,j)$表示替换后 $I ( i ,j )$在$( i ,j )$处的灰度值。本文中，像素值的替代变换是在空域中进行的，我们设计了两种思路用于实现混沌序列与像素值的替换操作。
像素替换的公式如下:

式中：$L$表示图像的颜色深度；$mod$表示求模运算；$\oplus$表示按位异或运算。$r_1,r_2,r_3$表示的是混沌序列值，替换变换的密钥由$r_1,r_2,r_3$对应的混沌系统提供，变换可多次进行，如此加密效果更好。设重复次数为$n$，与混沌模型的初值和参数共同作为这一部分的密钥，增大了密钥的空间，提高了加密强度。若图像很大时，通过上式能够看出$r_1,r_2,r_3$模版矩阵需要随之增大，如此就大大减小了加密效率。为此，我们可以通过分块处理的方式对图像进行加密，加密效率明显提高。图2是原始图像和加密后的图像:

图2 原始图像和加密后的图像

jiami.m

function e=jiami(x,data)
m(1)=data(1);
m1(1)=data(2);
m2(1)=data(3);
[a,b]=size(x);
N=a*b;
u1=data(4);
%u=4;
for i=1:N-1
    m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i));
end
m=mode(255*m,256);
m=uint8(m);
u2=data(5);
for i=1:N-1
    m1(i+1)=u2*m1(i)*(1-m1(i));
end
m1=mode(255*m1,256);
m1=uint8(m1);
u3=data(6);
for i=1:N-1
    m2(i+1)=u3*m2(i)*(1-m2(i));
end
sigma=data(7);
m2=mode(255*m2,256);
m2=uint8(m2);
%n=1;
n=data(8);
x=double(x);
m=double(m);
m1=double(m1);
m2=double(m2);
for i=1:a
    for j=1:b
       e(i,j)=m(n)+m1(n);
       e(i,j)=bitxor(e(i,j),m2(n));
       e(i,j)=e(i,j)+x(i,j);
       e(i,j)=mod(e(i,j),255);
       n=n+1;
    end
end

main.m

x=imread(‘lena.png‘);
x=double(x(:,:,1));
r=input(‘请输入加密密钥key1：‘);
e=jiami(x,r);
subplot(121);
imshow(x,[]);
title(‘原始图像‘);
subplot(122);
imshow(e,[]);
title(‘加密图像‘);

密钥为[0.343 0.432 0.63 3.769 3.82 3.85 0.1 1]八位
3. 加密图像解密

解密是加密的逆，公式如下：

jiemi1.m

function kk=jiemi1(e,data)
e=double(e);
[a,b]=size(e);
e=floor(e);
m3(1)=data(1);
m4(1)=data(2);
m5(1)=data(3);
u1=data(4);
N=a*b;
for i=1:N-1
    m3(i+1)=u1*m3(i)*(1-m3(i));
end
m3=mode(255*m3,256);
m3=uint8(m3);
u2=data(5);
for i=1:N-1
    m4(i+1)=u2*m4(i)*(1-m4(i));
end
m4=mode(255*m4,256);
m4=uint8(m4);
u3=data(6);
for i=1:N-1
    m5(i+1)=u3*m5(i)*(1-m5(i));
end
m5=mode(255*m5,256);
m5=uint8(m5);
sigma=data(7);
n=data(8);
m3=double(m3);
m4=double(m4);
m5=double(m5);

for i=1:a
    for j=1:b
        kk(i,j)=m3(n)+m4(n);
        kk(i,j)=bitxor(kk(i,j),m5(n));
        kk(i,j)=e(i,j)-kk(i,j);
        kk(i,j)=mod(kk(i,j),255);
  n=n+1;
    end
end

函数调用形式
kk=jiemi1(e,r);
%e为加密图像，r为密钥，为8位
图3是解密过程:

图3 解密图像

由图可以知道，错误的密钥是解密错误的，只有正确的密钥才能解密出原始图像，而且密钥的精确度非常高，能到小数点后几位。