之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段作为预热，并以其在有限群下应用来体会这种方法的强大。
前面提到过，\(gG\)将\(G\)中的元素作了一个变换，同样\(g(aH)\)也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群\(G\)作用到一个集合\(X\)，结果还是在\(X\)中。用函数的方法表示这个变换：\(g(x)\)，其中\(g\in G\)，\(x,g(x)\in X\)。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即\(g^{-1}(g(x))=x\)，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫\(G\)在\(X\)上的作用（action）。
\[g_1g_2(x)=g_1(g_2(x)),\quad e(x)=x\tag{1}\]
作用的结果可以写成一张表，行为\(G\)列为\(X\)，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是\(g(x)=x\)的情况，其中\(g\)称为\(x\)的稳定子（stabilizer），\(x\)所有的稳定子记作\(S_x\)，容易证明它是一个子群。\(x\)称为\(g\)的不动元素（fixed element），\(g\)的所有不动元记作\(F_g\)。对所有\(g\)都不动的也叫\(G\)的不动元素，记为\(F_G\)，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。
先从\(G\)的方向考察\(g(x)\)，即对于指定的\(x\)，\(g(x)\)的取值情况。\(g(x)\)的所有取值称为\(x\)轨道（orbit），记作\(O_x\)。如果\(g(x)=y\in O_x\)，则有\(g^{-1}(y)=x\in O_y\)。故不同的\(O_x\)之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是\(G\)的不动元。
一个自然的问题是，\(O_x\)中究竟有多少元素？若\(g_1,g_2\)使得\(g_1(x)=g_2(x)\)，则有\(g_{-1}g_2(x)=x\)，从而\(g_1,g_2\)同属于\(S_x\)的一个陪集。这就是说\(O_x\)中不同元素的个数为\([G:S_x]\)。如果为所有轨道选一个代表\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，则有以下类方程。
\[|X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+\cdots+[G:S_{x_n}]\tag{2}\]
另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设\(g(x)=y\)，将\(x=g^{-1}(y)\)带入\(a(x)=x\)，则有\(gag^{-1}(y)=y\)，所以就得到\(gS_xg^{-1}=S_y\)。这个性质让我们想到正规子群，即对任意\(N\trianglelefteq G\)，可有\(N\cap S_x=N\cap S_y\)。从而\(G\)作用下的一个轨道在\(N\)下有相同的稳定子，即那个轨道在\(N\)下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果\(G\)下只有一个轨道，则\(N\)的每个轨道一样长。
最后再从\(X\)的方向考察\(g(x)\)，即对于指定的\(g\)，\(g(x)\)的取值情况。首先若\(g(x)=g(y)\)，则\(g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y))\)，即有\(x=y\)，\(g\)的作用是\(X\)上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足\(g(x)=x\)都有元素对\((g,a)\)，有\(\sum_{g\in G}|F_g|=\sum_{x\in X}|S_x|=\sum_{k=1}^{n}|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|\)，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。
\[n=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F_g|\tag{3}\]
不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了\(gSg^{-1}\)的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令\(X\)是群\(G\)的所有子集的集合，考察群\(G\)在\(X\)上的变换\(g(S)=gSg^{-1}\)。满足\(gS_1g^{-1}=S_2\)的子集\(S_1,S_2\)称为共轭的（conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。
首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做共轭类，共轭类中的元素互为共轭。子集\(S\)的稳定子满足\(gSg^{-1}=S\)，它也称为\(S\)的正规化子，记作\(N(S)\)，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和\(N(S)\)的陪集一一对应，每个共轭类中有\([G:N(S)]\)个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。
\[N(gSg^{-1})=gN(S)g^{-1}\tag{4}\]
现在来考虑一些特殊情况。首先，以上\(X\)中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于\(X=G\)，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素\(F_G\)显然就是中心\(C\)。如果中心元有\(c\)个，其它等价类\(C_k\)分别有\(c_k\)个元素（\(k=1,2,\cdots,m\)），则类方程变成以下形式。
\[G=C\cup C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_m,\quad |G|=c+c_1+c_2+\cdots+c_m\tag{5}\]
其次，还可以把\(X\)中的元素限定为子群，这就定义了共轭子群。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有\(S\subseteq N(S)\)，而对于子群\(H\)不仅有\(H\subseteq N(H)\)，还有\(H\trianglelefteq N(H)\)。从另一个角度看，\(N(H)\)其实是通过缩小\(G\)来使\(H\)成为正规子群，\(N(H)\)是\(G\)中使\(H\)称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小\(H\)来得到一个正规子群呢？考察\(H\)的所有共轭子群之交\(K=\cap H_k\)，可以证明\(aH_ka^{-1}\)任然包含所有\(H\)的共轭子群，从而恒有\(aKa^{-1}=K\)，即\(K\)为正规子群。特别的，如果\(H\)的指数有限，则\(K\)的指数也有限。
相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子\(N(x)\)是所有满足\(axa^{-1}=x\)的元素，即所有与\(x\)可交换的元素。为此可以定义与子集\(S\)所有元素可交换的集合，称它为\(S\)的中心化子，并记做\(C(S)\)。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有：\(C(x)=N(x)\)。
\[C(S)\trianglelefteq N(S)\tag{6}\]
思考两个简单的问题（亦可作为结论）：
? 求证：\(\langle a\rangle\trianglelefteq N(a)\leqslant N(\langle a\rangle)\)；
? 求证：\(C(S)\)是\(S\)各元素正规化子的交。
关于交错群\(A_n\)有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当\(n\neq 4\)时，\(A_n\)都是单群。对\(n<4\)的场景可以直接验证，你还可以证明（最好使用下段结论）\(A_4\)有唯一正规子群\(K_4\)。当\(n>4\)时，证明比较繁杂，但方法很基础，作为习题比较好，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干\(3\)-循环之积，并且\(A_n\)可以由一些\(3\)-循环生成。其次证明\(A_n\)对\(3\)-循环集\(X\)的作用只有一个轨道，所以\(A_n\)中包含一个\(3\)-循环的正规子群只能是\(A_n\)自身。最后通过分情况讨论，证明\(A_n\)的正规子群必含有一个\(3\)-循环，这就证明了\(A_n,(n>4)\)是单群。
元素\(g\)与左陪集\(xK\)可以定义作用\(g(xK)=gxK\)，现在就来看看这个作用有什么结论。记\(X\)为子群\(K\)的所有左陪集，考察子群\(H\)到\(X\)的作用（选\(G\)得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成\(HxK\)，它也称为重陪集。重陪集可以既可以看成是一些\(K\)的左陪集之并，也可以看成是一些\(H\)的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。
作用的稳定子满足\(hxK=xK\)，从而\(x^{-1}hx\in K\)，即\(h\in xKx^{-1}\)。稳定子的集合为\(H\cap xKx^{-1}\)，从而轨道内元素的个数是\([H:H\cap xKx^{-1}]\)。结合重陪集的意义和群的作用，就得到\(HxK\)里\(H\)的右陪集个数\(n_{Hx}\)和\(K\)的左陪集个数\(n_{xK}\)分别为以下公式。
\[n_{Hx}=[K:K\cap x^{-1}Hx],\quad n_{xK}=[H:H\cap xKx^{-1}]\tag{7}\]
再来看看稳定元素\(F_H\)，它们对一切\(h\)满足\(hxK=xK\)，这就得到\(xKx^{-1}=H\)，它要求\(K,H\)首先是共轭的。当\(H=K\)时，可知\(x\in N(H)\)，即\(F_H\)为\(N(H)\)中\(H\)的所有陪集，个数为\([N(H):H]\)。
对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除\(e\)外每个元素都是生成元。对于素数幂次\(p^s\)阶群，它每个子群的阶都是\(p\)的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫\(p\)-群。
拉个朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为\(pm\)的群\(G\)，它有\(p\)阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当\(m=1\)时结论显然，现在假设结论对\(pk,k<m\)成立。任意找一个非平凡子群\(H\)，如果\(p\mid|H|\)，则由假设知存在\(p\)阶子群。如果总有\(p\nmid|H|\)，考察类方程（5），有\(p\mid c_k\)，从而中心的阶满足\(p\mid c\)。而中心为正规子群，它的商群\(G/N\)必有\(p\)阶子群\(bH\)，则必定有\(p\mid |b|\)，所以\(\langle b\rangle\)中有\(p\)阶元。综合以上就得到了结论：阶为\(pm\)的群必有有\(p\)阶子群，该结论也叫柯西定理。
这个结论非常有用，比如由此可以判断\(pq\)阶交换群必有\(p,q\)阶子群\(\langle a\rangle,\langle b\rangle\)，而\(\langle ab\rangle\)的阶为\(pq\)，所以它必定是循环群。思考下面的习题：
? 求证\(p\)-群有中心；
? 求证\(p^2\)阶群是循环群，另外仅有一个\(p\)阶子群的\(p\)-群也是循环群；
? 同构意义下，\(4\)阶群只有循环群和\(K_4\)。
继续刚才的问题，如果\(G\)的阶为\(p^sm,(p\nmid m)\)，它是否有\(p^k,(k\leqslant s)\)阶子群呢？当\(k=0,1\)时结论显然成立，假设有\(p^k,(k<s)\)阶子群\(H\)，考察式（8）的重陪集分解。左侧有\(p\mid [G:H]\)，右侧那些重陪集除了\(F_H\)外都有\(p\mid [Hx_iH:H]\)，从而\(p\mid |F_H|=[N(H):H]\)。所以有\(p\mid |N(H)/H|\)，故\(N(H)/H\)有\(p\)阶子群\(K/H\)，其中\(|K|=p^{k+1}\)，且\(H\trianglelefteq K\)。这就构造出了\(p^{k+1}\)阶子群，继而可以构造所有\(p^i,(0\leqslant i\leqslant s)\)阶子群，其中\(p^s\)阶子群也叫\(\text{Sylow}\:p\)-子群。
\[G=Hx_1H\:\cup\:Hx_2H\:\cup\cdots\cup\:Hx_rH\tag{8}\]
\[G=Hx_1K\:\cup\:Hx_2K\:\cup\cdots\cup\:Hx_rK\tag{9}\]
显然每个\(\text{Sylow}\:p\)-子群的共轭也是\(\text{Sylow}\:p\)-子群，反之对两个\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(K,H\)，考察其重陪集分解（9）。因为\(p\nmid [G:H]\)，而右侧重陪集除\(F_H\)外都有\(p\mid [Hx_iK:H]\)，故有\(F_H>1\)。即存在\(HxK=xK\)，这就有\(x^{-1}Hx=K\)，从而\(H,K\)共轭。既然所有的\(\text{Sylow}\:p\)-子群是一个共轭子群类，而稳定子为\(N(H)\)，故\(\text{Sylow}\:p\)-子群的个数为\(d=[G:N(H)]\)，首先当然有\(d\mid|G|\)。其次，容易有\(p\mid [G:H]-[N(H):H]\)，即\(p\mid (d-1)[N(H):H]\)，从而\(p\mid d-1\)。总结这两段的讨论就是重要的西罗定理（\(G\)的阶为\(p^sm,p\nmid m\)）：
（1）西罗第一定理：存在\(p^i,(0\leqslant i\leqslant s)\)阶子群，且对任意\(p^k,(k<s)\)阶子群\(H\)都有\(p^{k+1}\)阶子群\(K\)使得\(H\trianglelefteq K\)；
（2）西罗第二定理：所有\(\text{Sylow}\:p\)-子群共轭；
（3）西罗第三定理：\(\text{Sylow}\:p\)-子群个数\(n\)满足：\(n\mid m\)且\(n\equiv 1\pmod{p}\)。
西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果\(\text{Sylow}\:p\)-子群仅有\(1\)个，那它必为正规子群，可以将群拆分为\(\text{Sylow}\:p\)-子群及其商群来研究。如果\(\text{Sylow}\:p\)-子群有\(n>1\)个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从\(G\)到\(S_n\)的同态映射，这就说明了\(G\)有同态于\(S_n\)的商群。
在上面我们得到过结论：\(pq\)阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但\(p\nmid q-1,q\nmid p-1\)，则\(p\)-子群和\(q-\)子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。
这个正规性还使得\(\text{Sylow}\:p\)-子群可参与有限群的分解。若有\(|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}\)，且\(\text{Sylow}\:p_k\)-子群\(P_k\)都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意\(d\mid|G|\)，设\(d=p_1^{e‘_1}p_2^{e‘_2}\cdots p_s^{e‘_s}\)。由Sylow定理知，\(P_k\)中总有\(p_k^{e‘_k}\)阶子群\(H_k\)，则显然\(H_1\times H_2\times \cdots \times H_s\)的阶就是\(d\)。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意\(d\mid|G|\)都有阶为\(d\)的子群。
\[G=P_1\times P_2\times \cdots \times P_s\tag{10}\]
考虑几个习题：
? \(P\)为\(\text{Sylow}\:p\)-子群，若\(p\)-群\(H\)满足\(H\subseteq N(P)\)，则\(H\subseteq P\)；
? 同构意义下，\(6\)阶群只有循环群和\(S_3\)；
? 若\(|G|=p^2q\)或\(|G|=pqr\)，则\(G\)不是单群。
刚才我们把有限交换群分解成了\(\text{Sylow}\:p\)-子群的直积，现在来看交换群\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(P\)能否再进一步分解。考察\(P\)的一组生成元\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，由于是交换群，则必定有\(G=\langle a_1\rangle\langle a_2\rangle\cdots\langle a_n\rangle\)。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个\(\text{Sylow}\:p\)-子群\(P\)都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群\(G\)都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是\(p\)-群。它们的生成元被称为\(G\)的基，生成元的阶被称为初等因子，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。
\[G=\langle a_1\rangle\times\langle a_2\rangle\times\cdots\times\langle a_n\rangle,\quad |a_k|=p_i^j\tag{11}\]
可以将\(G\)的初等因子分成多组\(r_1,r_2,\cdots,r_m\)，并且满足\(r_k\mid r_{k+1}\)。相应地就有下式成立。\(r_k\)叫的不变因子，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限交换群基本定理（后面会从自由群的角度重新论证）。
\[G=\langle b_1\rangle\times\langle b_2\rangle\times\cdots\times\langle b_n\rangle,\quad |b_k|\mid|b_{k+1}|\tag{12}\]
关于群论的基础知识，我们在这里就匆匆结束了。下面我打算接着学习抽象代数的其它结构，后面会以更高的视角回来继续介绍群论，相信那个时候的理解会深刻一些。
【未完待续】
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