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约瑟夫问题、约瑟夫环

时间:2015-05-12 13:45:35      阅读:247      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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约瑟夫问题(有时也称为约瑟夫斯置换,是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.)

1问题来历编辑

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被处决?Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。[1] 
17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事:15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险,必须将一半的人投入海中,其余的人才能幸免于难,于是想了一个办法:30个人围成一圆圈,从第一个人开始依次报数,每数到第九个人就将他扔入大海,如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法,才能使每次投入大海的都是非教徒。
*问题分析与算法设计
约瑟夫问题并不难,但求解的方法很多;题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。
题目中30个人围成一圈,因而启发我们用一个循环的链来表示,可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员,其一为指向下一个人的指针,以构成环形的链;其二为该人是否被扔下海的标记,为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数,每数到9时,将结构中的标记改为0,表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

一般形式编辑

约瑟夫问题是个有名的问题:N个人围成一圈,从第一个开始报数,第M个将被杀掉,最后剩下一个,其余人都将被杀掉。例如N=6,M=5,被杀掉的顺序是:5,4,6,2,3,1。

解决方法

方法一:

用链表环表示:首先构造链表环,之后删除第m个元素,往后继续数。用shoot表示1~m的循环。
int josephus1(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 listNode *head=creat(n);
	 int shoot=1;
	 listNode *p=head,*s=p;
	 while(length(p)>1)
	 {
		 if (shoot++==m)
		 {
			  s=p->next;
			  remove(head,p->val);
			  cout<<p->val<<"->";
			  shoot=1;
			  p=s;
		 }
		 else
		 {
			 head=p;
             p=p->next;
		 }
	 }
	 cout<<head->val<<endl;
	 return head->val;
 }
 listNode *creat(int n)
 {
	 listNode *head,*p,*s;
	 head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode));
	 p=head;
	 int i=1;
	 while(i<=n)
	 {
		 s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode));
		 s->val=i;
		 p->next=s;
		 p=s;
		 i++;
	 }
	 head=head->next;
	 p->next=head;
	 return head;
 }
  listNode *remove(listNode *head,int val)
  {
	  listNode *p,*s;
	  p=head;
	  while (p->val!=val)
	  {
		  s=p;
		  p=p->next;
	  }
	  if (p->val==val)
	  {
		  s->next=p->next;
		  return head;
	  }
  }
  int length(listNode* head)
  {
	  if (head==NULL) return 0;
	 if (head->next==head) return 1; 
	 int length=0;
	 listNode *p=head;
	 while (p->next!=head)
	 {
		 p=p->next;
		 length++;
	 }
	 return length+1;
  }

方法二:

用C++,list容器模拟环,其中没有next。用迭代器++实现,代码如下:
 int josephus2(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 list<int> li;
	 for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
		 li.push_back(i);
	 }
	 list<int> ::iterator iter=li.begin();
	 while (li.size()>1)
	 {
		 for (int i=1;i<m;i++)
		 {
			 iter++;
			 if (iter==li.end())
			 {
				 iter=li.begin();
			 }
		 }
		 list<int> ::iterator next=++iter;
		 if (next==li.end())
		 {
			 next=li.begin();
		 }
		 --iter;
		  cout<<*(iter)<<"->";
		 li.erase(iter);
		 iter=next;
	 }
	 cout<<*(iter)<<endl;
	 return *(iter);
 }


方法三:

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),空间复杂度为O(n),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x‘=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
代码如下:
int josephus(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 int f=0;
	 for (int i=1;i<=n;i++)
	 { 
		 f=(f+m)%i;
	 }
	 return f+1;
 }
此方法时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。缺点是无法实现过程输出,只能求得最后一个元素的值。
完整代码如下;
其中  int josephus2(int n,int m)和  int josephus3(int n,int m)是利用list容器实现的两种思想相同,不同操作的代码。
#include <iostream>
#include <list>
#include<iterator >
using namespace std;
struct listNode
{
	int val;
	listNode *next;
};
 int josephus(int n,int m);
 int josephus1(int n,int m);
 listNode *creat(int n);
 listNode *remove(listNode *head,int val);
 int length(listNode* head);
 int josephus2(int n,int m);
 int josephus3(int n,int m);
void main()
{
	int n=41;
	int m=3;
	cout<<josephus(n,m)<<endl;
	cout<<josephus1(n,m)<<endl;
	cout<<josephus2(n,m)<<endl;
	cout<<josephus3(n,m)<<endl;
}
 int josephus(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 int f=0;
	 for (int i=1;i<=n;i++)
	 { 
		 f=(f+m)%i;
	 }
	 return f+1;
 }
 int josephus1(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 listNode *head=creat(n);
	 int shoot=1;
	 listNode *p=head,*s=p;
	 while(length(p)>1)
	 {
		 if (shoot++==m)
		 {
			  s=p->next;
			  remove(head,p->val);
			  cout<<p->val<<"->";
			  shoot=1;
			  p=s;
		 }
		 else
		 {
			 head=p;
             p=p->next;
		 }
	 }
	 cout<<head->val<<endl;
	 return head->val;
 }
 listNode *creat(int n)
 {
	 listNode *head,*p,*s;
	 head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode));
	 p=head;
	 int i=1;
	 while(i<=n)
	 {
		 s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode));
		 s->val=i;
		 p->next=s;
		 p=s;
		 i++;
	 }
	 head=head->next;
	 p->next=head;
	 return head;
 }
  listNode *remove(listNode *head,int val)
  {
	  listNode *p,*s;
	  p=head;
	  while (p->val!=val)
	  {
		  s=p;
		  p=p->next;
	  }
	  if (p->val==val)
	  {
		  s->next=p->next;
		  return head;
	  }
  }
  int length(listNode* head)
  {
	  if (head==NULL) return 0;
	 if (head->next==head) return 1; 
	 int length=0;
	 listNode *p=head;
	 while (p->next!=head)
	 {
		 p=p->next;
		 length++;
	 }
	 return length+1;
  }

  int josephus2(int n,int m)
 {
	 if (n<1||m<1)
	 {
		 return -1;
	 }
	 list<int> li;
	 for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
		 li.push_back(i);
	 }
	 list<int> ::iterator iter=li.begin();
	 while (li.size()>1)
	 {
		 for (int i=1;i<m;i++)
		 {
			 iter++;
			 if (iter==li.end())
			 {
				 iter=li.begin();
			 }
		 }
		 list<int> ::iterator next=++iter;
		 if (next==li.end())
		 {
			 next=li.begin();
		 }
		 --iter;
		  cout<<*(iter)<<"->";
		 li.erase(iter);
		 iter=next;
	 }
	 cout<<*(iter)<<endl;
	 return *(iter);
 }
  int josephus3(int n,int m)
  {
	  if (n<=1)
	  {
		  return -1;
	  }
	  list<int> li;
	  for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
		  li.push_back(i);
	  }
	  int shoot=1;
	  list<int> ::iterator next=li.begin();
	  int last=0;
	  list<int>::iterator iter=li.begin();
	  for (iter=li.begin();li.size()>1;)
	 {
		 if (shoot++==m)
		 {
			 next=++iter;
			 if (next==li.end())
			 {
				 next=li.begin();
			 }
			 --iter;
			 last=*iter; 
			 cout<<last<<"->";
			 li.erase(iter);
			 iter=next;
			 shoot=1;
		 }
		 else
		 {
			 iter++;
			 if (iter==li.end())
			 {
				 iter=li.begin();
			 }
		 }
	 }
	  last=*iter; 
	  cout<<last<<endl;
	  return last;
  }

运行结构如下:
技术分享

约瑟夫问题、约瑟夫环

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原文地址:http://blog.csdn.net/sinat_24520925/article/details/45667071

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