错排问题

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1. 定义

　　一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。　

2. 内容

　　错排问题实质是一种递推。

　　n个有序元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

　　任给一个n，求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个？

　　　　递归关系式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))， 其中 D(1)=0, D(2)=1

　　可以得到:
　　　　错排公式为 f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!] ， 其中,n!=1*2*3*.....*n,
　　特别地,有0!=0,1!=1.

3. 理解

　　n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 
　　　　第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。 
　　　　第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同　　　　　　　　的情况发生：
　　　　1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
　　　　2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元　　　　　　素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 

　　根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数 
　　　　f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

4. 应用

　　hdu2048(神、上帝以及老天爷)

错排问题

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原文地址：http://www.cnblogs.com/yanyang/p/4498015.html