动态规划----最长公共子序列

最长公共子序列
1．问题的理解与描述

最长公共子序列（LCS）问题形式化为：

输入：序列X = <x1, x2, ..., xm>和Y = <y1, y2, ..., yn>。
输出：X与Y的一个最长公共子序列Z。

1. 最优子结构与子问题的重叠
   定理3-1（最长公共子序列的最优子结构）
   设X = <x1, x2, ..., xm>和Y = <y1, y2, ..., yn>为两个序列，并设Z = <z1, z2, ..., zk>为X 和Y的任一LCS。
   （1）若xm = yn，则zk = xm = yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。
   （2）若xm ≠ yn，则zk ≠ xm蕴含着Z是Xm-1和Y的一个LCS。
   （3）若xm ≠ yn，则zk ≠ yn蕴含着Z是X 和Yn-1的一个LCS。

设c[i, j]为子序列Xi和Yj的LCS的长度。根据最长公共子序列问题的最优子结构得出下列递归式：

eg:

3．算法的伪代码描述

LCS-LENGTH (X, Y)
1 m ← length[X]
2 n ← length[Y]
3 for i ← 1 to m
4   do c[i, 0] ← 0  
5 for j ← 0 to n
6   do c[0, j] ← 0 
7 for i ← 1 to m
8   do for j ← 1 to n
9       do if xi = yj
10          then c[i, j] ← c[i - 1, j - 1] + 1
11          else if c[i - 1, j] ? c[i, j - 1]
12                  then c[i, j] ← c[i - 1, j]
13                  else c[i, j] ← c[i, j - 1]
15 return c

4．构造一个最优解

PRINT-LCS(c, X, Y, i, j)
1 if i = 0 or j = 0
2   then return
3 if xi = yj
4   then PRINT-LCS (c, X, Y, i - 1, j - 1)
5       print xi
6   elseif c[i - 1, j] ? c[i, j - 1]
7       then PRINT-LCS (c, X, Y, i - 1, j)
8       else PRINT-LCS (c, X, Y, i, j - 1)

5．算法的运行时间

过程LCS-LENGTH的主体是第7～8行两重嵌套的for循环，容易看出其时间复杂度为T(m, n)= Θ(mn)，其中m，n分别为X和Y的长度。而过程PRINT-LCS的时间复杂度为T(m, n)= Θ(m+n)。

参考：徐子珊–《算法设计、分析与实现：C、C++和 Java》