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题目：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0.
解决这个问题首先考虑对于任意的N，是否这样的M一定存在。可以证明，M是一定存在的，而且不唯一。
简单证明：因为
这是一个无穷数列，但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数，且s<t，有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有：
，所以
例如，取N＝3，因为10的任何非负次方模3都为1，所以循环节周期为1.有：
给定N，求M的方法：
方法一：给定N，令M从2开始，枚举M的值直到遇到一个M使得N*M的十进制表示中只有1和0.
方法二：求出10的次方序列模N的余数序列并找出循环节。然后搜索这个余数序列，搜索的目的就是要在这个余数序列中找到一些数出来让它们的和是N的倍数。例如N=13，这个序列就是1,10,9,12,3,4然后不断循环。很明显有1+12=13，而1是10的0次方，12是10的3次方，所以这个数就是1000+1=1001，M就是1001/13=77。
方法三：因为N*M的取值就是1,10,11,100,101,110,111,......所以直接在这个空间搜索，这是对方法一的改进。搜索这个序列直到找到一个能被N整除的数，它就是N*M，然后可计算出M。例如N=3时，搜索树如下：
上图中括号内表示模3的余数。括号外表示被搜索的数。左子树表示0，右子树表示1.上图中搜索到第二层（根是第0层）时遇到111，它模3余数为0.所以N*M=111, M=111/3=37。
方法四：对方法三的改进。将方法三的搜索空间按模N余数分类，使得搜索时间和空间都由原来的指数级降到了O(N)。改进的原理：假设当前正在搜索由0，1组成的K位十进制数，这样的K位十进制数共有2^k个。假设其中有两个数X、Y，它们模N同余，那么在搜索由0、1组成的K+1位十进制数时，X和Y会被扩展出四个数：10X, 10X+1, 10Y, 10Y+1。因为X和Y同余（同余完全可以看作相等），所以10X与10Y同余，10X+1与10Y+1同余。也就是说由Y扩展出来的子树和由X扩展产生出来的子树产生完全相同的余数，如果X比Y小，那么Y肯定不是满足要求的最小的数，所以Y这棵子树可以被剪掉。这样，2^K个数按照模N余数分类，每类中只保留最小的那个数以供扩展。原来在这一层需要搜索2^K个数，现在只需要搜索O(N)个数。例如，当N=9时，第0层是1(1)，
如上图所示，第2层的110，第三层的1010、1110都因为同一层有和它同余且更小的数而被剪掉。如果按照方法三搜索，第三层本来应该有8个结点，但现在只有4个结点。
方法一：
#include <stdio.h> int HasOnlyOneAndZero(unsigned int n) { while(n) { if(n % 10 >= 2) return 0; n /= 10; } return 1; } int main() { int n, m; while(scanf("%d", &n) != EOF) { for(m = 1;;m++) { if(HasOnlyOneAndZero(n*m)) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", n, m, n*m); break; } } } return 0; }
方法三：
// 解法三(1):广度优先搜索 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <cstdio> #include <queue> using namespace std; int main() { int N; while(scanf("%d", &N) != EOF) { queue<int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { int t = q.front(); q.pop(); if(t % N == 0) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t/N, t); break; } q.push(t * 10); q.push(t * 10 + 1); } } return 0; }
方法四：
// 解法四：将搜索空间分过类的广度搜索，这样空间占用是O(N)而不是 // 指数级。分类的原则是按照模N的余数分类 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include <cstdio> #include <bitset> #include <vector> #include <queue> using namespace std; struct QNode { int v, r; // v is value, r is remainder QNode(int vv, int rr): v(vv), r(rr) {} QNode(): v(0), r(0) {} }; int main() { int N; while(scanf("%d", &N) != EOF) { //bitset<N> bn; queue<QNode> q; q.push(QNode(1, 1)); while(!q.empty()) { //bn.reset(); vector<bool> bn(N, false); int s = q.size(); while(s--) { QNode t = q.front(); if(t.r == 0) { printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t.v/N, t.v); goto ok; } q.pop(); if(!bn[t.r * 10 % N]) { bn[t.r * 10 % N] = true; q.push(QNode(t.v * 10, t.r * 10 % N)); } if(!bn[(t.r * 10 + 1) % N]) { bn[(t.r * 10 + 1) % N] = true; q.push(QNode(t.v * 10 + 1, (t.r * 10 + 1) % N)); } } } ok:; } return 0; }
学习之处：
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原文地址：http://www.cnblogs.com/sunshisonghit/p/4506323.html
