BestCoder#40 C Tom and matrix

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题意：求Sum(C[i][j]) (x1<=i<=x2;y1<=j<=y2)，结果对质数p取模

思路：由c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]可知Sum(C[i][k]) = C[b+1][k+1]-C[a][k+1] (a<=i<=b),所以枚举所有的j算出C[x2+1][j+1]-C[x1][j+1]即可。计算c[n][m]对p取模的值需要用到Lucas定理。

Lucas定理：C[n][m]%p=C[n/p][m/p]*C]n%p][m%p]%p

令a=n%p,b=m%p,

则C[a][b]=a!/(b!*(a-b)!）

由于b!*(a-b)!与p互质，由费马小定理，C[a][b]=a!*(b!*(a-b)!)^(p-2)

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define LL long long

LL PowMod(LL a,LL b,LL MOD){
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

LL fac[100005];
LL GetFact(LL p){
    fac[0]=1;
    for(LL i=1;i<=100000;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    }
}

LL Lucas(LL n,LL m,LL p){
    if(n<m) return 0;
    LL ret=1;
    while(n&&m){
        LL a=n%p,b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ret=(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;
        n/=p;m/=p;
    }
    return ret;
}

int main(){
    int x1,x2,y1,y2,p;
    while(scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&p)!=EOF){
        GetFact(p);
        LL ans=0;
        for(int i=y1+1;i<=y2+1;i++){
            ans=(ans+Lucas(x2+1,i,p)-Lucas(x1,i,p)+p)%p;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/u011822304/article/details/45746017