[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

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举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散.

解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1}{x\ln x\ln^2\ln x}\rd x =\int_1^\infty \frac{1}{y^2}\rd y<\infty \eex$$ 及积分判别法知 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, 但 $$\bex a_n\ln n=\frac{1}{n\ln^2\ln n} \eex$$ 发散, 这是因为 $$\bex \vlm{n}\frac{a_n\ln n}{1/(n\ln n)} =\vlm{n}\frac{\ln n}{\ln^2\ln n} =\vlm{x}\frac{x}{\ln^2x}=\vlm{x}\frac{1}{2\ln x\cdot \frac{1}{x}} =\frac{1}{2}\vlm{x}\frac{x}{\ln x} =+\infty, \eex$$ $$\bex \int_e^\infty \frac{1}{x\ln x}\rd x =\int_1^\infty \frac{1}{x}\rd x=+\infty. \eex$$

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