Codevs2155连续和题解

• 题目描述 Description
  给定n个数 $a_1 , a_2 , ... , a_n$
  定义 $f(i,j) = a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + ... + a_{j-1} + a_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n)$
  求 $f(i,j)$ 的最大值
  $n ≤ 10^6 ;-1000 ≤ a_i ≤ 1000 (1 ≤ i ≤ n)$

• 输入描述 Input Description
  第一行有1个数，n
  第二行有n个数，$a_1 , a_2 , ... , a_n$

• 输出描述 Output Description
  输出只有一行，$f(i,j)$的最大值

• 样例输入 Sample Input
  7
  3 6 -8 9 -12 1 2

• 样例输出 Sample Output
  10

• 题解Solution
  这是“最大连续子序列的和”的模型。
  最暴力的方法可以是枚举全部区间，时间复杂度$O(n^3)$（长度，左端点，右端点）

ans = -oo;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = i; j <= n; ++j
    {
        int sum = 0;
        for(int k = i; k <= j; ++k) sum += a[k];
        ans = max(ans, sum);
    }
return ans;

• 其次是改进版的，只枚举端点，设左端点为i,若从i开始到j($i\le j\le n$)和大于从i开始到j-1的和则更新以i开始的区间最大值。时间复杂度$O(n^2)$

ans = -oo;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
    int sum = 0;
    for(int j = i; j <= n; ++j)
    {
        sum += a[i];
        ans = max(ans, sum);
    }
}
return ans;

• 仔细分析可以知道以$a_{i-1}$为结束点的最大和$f_{i-1}$与以$a_i$为结束点的最大和$f_i$之间存在着这样的关系：$f_i=\max\{f_{i-1}+a_i,a_i\}=\max\{f_{i-1}，0\}+a_i$
  这样$O(n)$时间内即可求出所有的$f()$，而$ans=\max\{f_i\},1\le i \le n$。这个算法的时间和空间复杂度都是$O(n)$的，足够通过本题。

ans = -oo;
f[1] = a[1];
for(int i = 2; i <= n; ++i)
    f[i] = max(f[i-1], 0) + a[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
    ans = max(ans, f[i]);
return ans;

• 再一想，其实f[]这个数组很没意思，只用一个元素打擂台就可以代替整个数组。所以这一部分算法的空间复杂度可降至$O(1)$。但由于要读入数据，整个题目算法的空间复杂度还是$O(n)$的。这就是下面代码的写法：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000000;
int a[maxn], n;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    int ans = 0, s = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        s += a[i];
        if(s < 0) s = 0;
        ans = max(ans, s);
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}