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数学(论)里的一些定理(莫比乌斯反演,傅立叶变换,数论变换...)

时间:2015-05-17 13:44:53      阅读:279      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:fft快速傅里叶变换   ntt快速数论变换   莫比乌斯反演   

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位,许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理:技术分享技术分享是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件技术分享,那么我们得到结论

 

     技术分享

 

在上面的公式中有一个技术分享函数,它的定义如下:

 

    (1)若技术分享,那么技术分享

    (2)若技术分享技术分享均为互异素数,那么技术分享

    (3)其它情况下技术分享

 

 

对于技术分享函数,它有如下的常见性质:

 

    (1)对任意正整数技术分享

  

                            技术分享

 

        (2)对任意正整数技术分享

 

         技术分享

 

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

void Init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<N; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}

有了上面的知识,现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

证明

技术分享

证明完毕!

嗯,有了莫比乌斯反演,很多问题都可以简化了,接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。

题目:http://bz.cdqzoi.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

题意:给一个正整数技术分享,其中技术分享,求使得技术分享为质数的技术分享的个数,技术分享

分析:对于本题,因为是使得技术分享为质数,所以必然要枚举小于等于技术分享的质数,那么对于每一个质数技术分享,只

     需要求在区间技术分享中,满足有序对技术分享互质的对数。

     也就是说,现在问题转化为:在区间技术分享中,存在多少个有序对使得技术分享互质,这个问题就简单啦,因为

     是有序对,不妨设技术分享,那么我们如果枚举每一个技术分享,小于技术分享有多少个技术分享技术分享互素,这正是欧拉函数。所以

     我们可以递推法求欧拉函数,将得到的答案乘以2即可,但是这里乘以2后还有漏计算了的,那么有哪些呢?

     是技术分享且为素数的情况,再加上就行了。

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <bitset>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10000010;

bitset<N> prime;
LL phi[N];
LL f[N];
int p[N];
int k;

void isprime()
{
    k = 0;
    prime.set();
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

void Init()
{
    for(int i=1; i<N; i++)  phi[i] = i;
    for(int i=2; i<N; i+=2) phi[i] >>= 1;
    for(int i=3; i<N; i+=2)
    {
        if(phi[i] == i)
        {
            for(int j=i; j<N; j+=i)
                phi[j] = phi[j] - phi[j] / i;
        }
    }
    f[1] = 0;
    for(int i=2;i<N;i++)
        f[i] = f[i-1] + (phi[i]<<1);
}

LL Solve(int n)
{
    LL ans = 0;
    for(int i=0; i<k&&p[i]<=n; i++)
        ans += 1 + f[n/p[i]];
    return ans;
}

int main()
{
    Init();
    isprime();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%I64d\n",Solve(n));
    return 0;
}

上题不算太难,普通的欧拉函数就可以搞定,接下来我们来看看它的升级版。


题意:给定两个数技术分享技术分享,其中技术分享技术分享,求技术分享为质数的技术分享有多少对?其中技术分享技术分享的范

     围是技术分享

 

分析:本题与上题不同的是技术分享技术分享不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决,文章开头也说了它能大大简化

     运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为:

 

     技术分享

 

     其实它还有另一种描述,本题也是用到这种。那就是:

 

     技术分享

 

     好了,到了这里,我们开始进入正题。。。

 

     对于本题,我们设

 

     技术分享为满足技术分享技术分享技术分享技术分享的对数

     技术分享为满足技术分享技术分享技术分享技术分享的对数

 

     那么,很显然技术分享,反演后得到技术分享

 

     因为题目要求是技术分享为质数,那么我们枚举每一个质数技术分享,然后得到

 

     技术分享

 

     如果直接这样做肯定TLE,那么我们必须优化。

 

     我们设技术分享,那么继续得到技术分享

 

     到了这里,可以看出如果我们可以先预处理出所有的技术分享对应的技术分享的值,那么本题就解决了。

 

     我们设技术分享,注意这里技术分享为素数,技术分享

 

     那么,我们枚举每一个技术分享,得到技术分享,现在分情况讨论:

 

     (1)如果技术分享整除技术分享,那么得到

 

       技术分享

 

     (2)如果技术分享不整除技术分享,那么得到

 

       技术分享

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10000005;

bool vis[N];
int p[N];
int cnt;
int g[N],u[N],sum[N];

void Init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    u[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            u[i] = -1;
            g[i] = 1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<N;j++)
        {
            vis[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j])
            {
                u[i*p[j]] = -u[i];
                g[i*p[j]] = u[i] - g[i];
            }
            else
            {
                u[i*p[j]] = 0;
                g[i*p[j]] = u[i];
                break;
            }
        }
    }
    sum[0] = 0;
    for(int i=1;i<N;i++)
        sum[i] = sum[i-1] + g[i];
}

int main()
{
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL n,m;
        cin>>n>>m;
        if(n > m) swap(n,m);
        LL ans = 0;
        for(int i=1,last;i<=n;i=last+1)
        {
            last = min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans += (n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

多项式乘法运算初级版——快速傅里叶变换

快速傅里叶变换在信息学竞赛中主要用于求卷积,或者说多项式乘法。我们知道,多项式乘法的普通算法时间复杂度

技术分享,通过快速傅里叶变换可以使时间降为技术分享,那么接下来会详细介绍快速傅里叶变换的原理。

 

首先来介绍多项式的两种表示方法,即系数表示法点值表示法。从某种意义上说,这两种方法是等价的。先设

    技术分享

(1)系数表示法

 

    对于一个次数界为技术分享的多项式技术分享来说,其系数表示法就是一个由系数组成的向量技术分享,很

    明显,这样的多项式乘法运算的时间复杂度为技术分享

 

(2)点值表示法

 

    对于一个次数界为技术分享的多项式技术分享来说,其点值是技术分享个点值对所形成的集合

 

    技术分享

 

    其中技术分享各不相同,并且当技术分享时,有技术分享。可以看出一个多项式可以有多种不同的点值

    表示法,而通过这技术分享个不同的点值对可以表示一个唯一的多项式。而通过点值表示法来计算多项式的乘法,时间

    复杂度为技术分享

 

    从原则上来说,计算多项式的点值是简单易行的,因为我们只需要先选取技术分享个相异的点,然后通过秦九韶算法

    以在技术分享时间内求出所有的技术分享,实际上如果我们的技术分享选得巧妙的话,就可以加速这一过程,使其运行时间变

    为技术分享

 

    根据多项式的系数表示法求其点值表示法的过程称为求值,而根据点值表示法求其系数表示法的过程称为插值

 

    对于求卷积或者说多项式乘法运算问题,先是通过傅里叶变换对系数表示法的多项式进行求值运算,这一步的时

    间复杂度为技术分享,然后在技术分享时间内进行点值相乘,再进行插值运算。

 

那么,接下来就是我们今天的重点了,如何高效地对一个多项式进行求值运算,即将多项式的表示法变为点值表示法。

 

如果选取单位复根作为求值点,则可以通过对系数向量进行离散傅里叶变换(DFT),得到相应的点值表示。同样地

也可以通过对点值对进行逆DFT运算,获得相应的系数向量。DFT逆DFT的时间复杂度均为技术分享

 

一. 求DFT

 

    选取技术分享次单位复根作为技术分享来求点值是比较巧妙的做法。

    技术分享次单位复根是满足技术分享的复数技术分享技术分享次单位复根恰好有技术分享个,它们是技术分享技术分享,为

    了解释这一式子,利用复数幂的定义技术分享,值技术分享称为主技术分享次单位根,所有其

    它技术分享次单位复根都是技术分享技术分享次幂。

 

    技术分享技术分享次单位复根技术分享在乘法运算下形成一个群,该群的结构与加法群技术分享技术分享相同。

 

    接下来认识几个关于技术分享次单位复根的重要性质。

   

    (1)相消引理

 

        对于任何整数技术分享,有技术分享

 

    (2)折半引理

 

        如果技术分享且为偶数,则技术分享

 

    (3)求和引理

 

        对任意整数技术分享和不能被技术分享整除的非零整数技术分享,有

 

          技术分享

 

     回顾一下,我们希望计算次数界为技术分享的多项式

 

     技术分享

 

     在技术分享处的值,假定技术分享2的幂,因为给定的次数界总可以增大,如果需要,总可以添加值为零

     的新的高阶系数。假定已知技术分享的系数形式为技术分享,对技术分享,定义结果

     技术分享如下

                 技术分享

     向量技术分享是系数向量技术分享的离散傅里叶变换,写作技术分享

     通过使用一种称为快速傅里叶变换(FFT)的方法,就可以在技术分享时间内计算出技术分享,而直接

     计算的方法所需时间为技术分享FFT主要是利用单位复根的特殊性质。FFT方法运用了分治策略,它用技术分享

     中偶数下标的系数与奇数下标的系数,分别定义了两个新的次数界为技术分享的多项式技术分享技术分享

     技术分享

     则进一步有技术分享

 

     这样技术分享技术分享处的值得问题就转换为求次数界为技术分享的多项式技术分享技术分享在点

     技术分享处的值。由于在奇偶分类时导致顺序发生变化,所以需要先通过Rader算法进行

     倒位序,在FFT中最重要的一个操作是蝴蝶操作,通过蝴蝶操作可以将前半部分和后半部分的值求出。

 

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

题意:大数乘法,需要用FFT实现。

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int N = 500005;
const double PI = acos(-1.0);

struct Virt
{
    double r, i;

    Virt(double r = 0.0,double i = 0.0)
    {
        this->r = r;
        this->i = i;
    }

    Virt operator + (const Virt &x)
    {
        return Virt(r + x.r, i + x.i);
    }

    Virt operator - (const Virt &x)
    {
        return Virt(r - x.r, i - x.i);
    }

    Virt operator * (const Virt &x)
    {
        return Virt(r * x.r - i * x.i, i * x.r + r * x.i);
    }
};

//雷德算法--倒位序
void Rader(Virt F[], int len)
{
    int j = len >> 1;
    for(int i=1; i<len-1; i++)
    {
        if(i < j) swap(F[i], F[j]);
        int k = len >> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

//FFT实现
void FFT(Virt F[], int len, int on)
{
    Rader(F, len);
    for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT
    {
        Virt wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h));  //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开
        for(int j=0; j<len; j+=h)
        {
            Virt w(1,0);            //旋转因子
            for(int k=j; k<j+h/2; k++)
            {
                Virt u = F[k];
                Virt t = w * F[k + h / 2];
                F[k] = u + t;     //蝴蝶合并操作
                F[k + h / 2] = u - t;
                w = w * wn;      //更新旋转因子
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i=0; i<len; i++)
            F[i].r /= len;
}

//求卷积
void Conv(Virt a[],Virt b[],int len)
{
    FFT(a,len,1);
    FFT(b,len,1);
    for(int i=0; i<len; i++)
        a[i] = a[i]*b[i];
    FFT(a,len,-1);
}

char str1[N],str2[N];
Virt va[N],vb[N];
int result[N];
int len;

void Init(char str1[],char str2[])
{
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    len = 1;
    while(len < 2*len1 || len < 2*len2) len <<= 1;

    int i;
    for(i=0; i<len1; i++)
    {
        va[i].r = str1[len1-i-1] - '0';
        va[i].i = 0.0;
    }
    while(i < len)
    {
        va[i].r = va[i].i = 0.0;
        i++;
    }
    for(i=0; i<len2; i++)
    {
        vb[i].r = str2[len2-i-1] - '0';
        vb[i].i = 0.0;
    }
    while(i < len)
    {
        vb[i].r = vb[i].i = 0.0;
        i++;
    }
}

void Work()
{
    Conv(va,vb,len);
    for(int i=0; i<len; i++)
        result[i] = va[i].r+0.5;
}

void Export()
{
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        result[i+1] += result[i]/10;
        result[i] %= 10;
    }
    int high = 0;
    for(int i=len-1; i>=0; i--)
    {
        if(result[i])
        {
            high = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=high; i>=0; i--)
        printf("%d",result[i]);
    puts("");
}

int main()
{
    while(~scanf("%s%s",str1,str2))
    {
        Init(str1,str2);
        Work();
        Export();
    }
    return 0;
}

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609

题意:给定n条长度已知的边,求能组成多少个三角形。

分析:用一个num数组来记录次数,比如num[i]表示长度为i的边有num[i]条。然后对num[]求卷积,除去本身重

     复的和对称的,然后再整理一下就好了。

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 400005;
const double PI = acos(-1.0);

struct Virt
{
    double r,i;

    Virt(double r = 0.0,double i = 0.0)
    {
        this->r = r;
        this->i = i;
    }

    Virt operator + (const Virt &x)
    {
        return Virt(r+x.r,i+x.i);
    }

    Virt operator - (const Virt &x)
    {
        return Virt(r-x.r,i-x.i);
    }

    Virt operator * (const Virt &x)
    {
        return Virt(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i);
    }
};

//雷德算法--倒位序
void Rader(Virt F[],int len)
{
    int j = len >> 1;
    for(int i=1; i<len-1; i++)
    {
        if(i < j) swap(F[i], F[j]);
        int k = len >> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

//FFT实现
void FFT(Virt F[],int len,int on)
{
    Rader(F,len);
    for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT
    {
        Virt wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));  //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开
        for(int j=0; j<len; j+=h)
        {
            Virt w(1,0);            //旋转因子
            for(int k=j; k<j+h/2; k++)
            {
                Virt u = F[k];
                Virt t = w*F[k+h/2];
                F[k] = u+t;      //蝴蝶合并操作
                F[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;      //更新旋转因子
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i=0; i<len; i++)
            F[i].r /= len;
}

//求卷积
void Conv(Virt F[],int len)
{
    FFT(F,len,1);
    for(int i=0; i<len; i++)
        F[i] = F[i]*F[i];
    FFT(F,len,-1);
}

int a[N];
Virt F[N];
LL num[N],sum[N];
int len,n;

void Init()
{
    memset(num,0,sizeof(num));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        num[a[i]]++;
    }
    sort(a, a + n);
    int len1 = a[n-1] + 1;
    len  = 1;
    while(len < len1*2) len <<= 1;
    for(int i=0; i<len1; i++)
        F[i] = Virt(num[i],0);
    for(int i=len1; i<len; i++)
        F[i] = Virt(0,0);
}

void Work()
{
    Conv(F,len);
    for(int i=0; i<len; i++)
        num[i] = (LL)(F[i].r+0.5);
    len = a[n-1]*2;
    for(int i=0; i<n; i++)
        num[a[i]+a[i]]--;
    for(int i=1; i<=len; i++)
        num[i] >>= 1;
    sum[0] = 0;
    for(int i=1; i<=len; i++)
        sum[i] = sum[i-1] + num[i];
    LL cnt = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        cnt+=sum[len]-sum[a[i]];
        //减掉一个取大,一个取小的
        cnt-=(LL)(n-1-i)*i;
        //减掉一个取本身,另外一个取其它
        cnt-=(n-1);
        //减掉大于它的取两个的组合
        cnt-=(LL)(n-1-i)*(n-i-2)/2;
    }
    LL tot = (LL)n*(n-1)*(n-2)/6;
    printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        Init();
        Work();
    }
    return 0;
}

多项式乘法运算终极版——NTT(快速数论变换)

在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质,大大减少了运算,但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理,每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数,因此大部分系数都是浮点数,我们必须做复数及浮点数

的计算,计算量会比较大,而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天,我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法,叫做快速数论变换(NTT),在离散正交变换的理论中,已经证明在

复数域内,具有循环卷积特性的唯一变换是DFT,所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换

 

回忆复数向量,其离散傅里叶变换公式如下

 

   技术分享

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   技术分享

 

今天的快速数论变换(NTT)是在技术分享上进行的,在快速傅里叶变换(FFT)中,通过技术分享次单位复根来运算的,即满

技术分享技术分享,而对于快速数论变换来说,则是可以将技术分享看成是技术分享的等价,这里技术分享是模素数技术分享

的原根(由于技术分享是素数,那么原根一定存在)。即

 

        技术分享

 

所以综上,我们得到数论变换的公式如下

 

    技术分享

 

数论变换的逆变换公式为

 

    技术分享

 

这样就把复数对应到一个整数,之后一切都是在技术分享系统内考虑。

 

上述数论变换(NTT)公式中,要求技术分享是素数且技术分享必须是技术分享的因子。由于技术分享经常是2的方幂,所以可以构造形

技术分享的素数。通常来说可以选择技术分享费马素数,这样的变换叫做费马数数论变换

 

这里我们选择技术分享技术分享,这样得到模技术分享的原根值为技术分享

 

题目:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

分析:题目意思就是大数相乘,此处用快速数论变换(NTT)实现。

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1 << 18;
const int P = (479 << 21) + 1;
const int G = 3;
const int NUM = 20;

LL  wn[NUM];
LL  a[N], b[N];
char A[N], B[N];

LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

void GetWn()
{
    for(int i=0; i<NUM; i++)
    {
        int t = 1 << i;
        wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);
    }
}

void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len)
{
    len = 1;
    int len_A = strlen(A);
    int len_B = strlen(B);
    while(len <= 2 * len_A || len <= 2 * len_B) len <<= 1;
    for(int i=0; i<len_A; i++)
        A[len - 1 - i] = A[len_A - 1 - i];
    for(int i=0; i<len - len_A; i++)
        A[i] = '0';
    for(int i=0; i<len_B; i++)
        B[len - 1 - i] = B[len_B - 1 - i];
    for(int i=0; i<len - len_B; i++)
        B[i] = '0';
    for(int i=0; i<len; i++)
        a[len - 1 - i] = A[i] - '0';
    for(int i=0; i<len; i++)
        b[len - 1 - i] = B[i] - '0';
}

void Rader(LL a[], int len)
{
    int j = len >> 1;
    for(int i=1; i<len-1; i++)
    {
        if(i < j) swap(a[i], a[j]);
        int k = len >> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

void NTT(LL a[], int len, int on)
{
    Rader(a, len);
    int id = 0;
    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
    {
        id++;
        for(int j = 0; j < len; j += h)
        {
            LL w = 1;
            for(int k = j; k < j + h / 2; k++)
            {
                LL u = a[k] % P;
                LL t = w * (a[k + h / 2] % P) % P;
                a[k] = (u + t) % P;
                a[k + h / 2] = ((u - t) % P + P) % P;
                w = w * wn[id] % P;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
    {
        for(int i = 1; i < len / 2; i++)
            swap(a[i], a[len - i]);
        LL Inv = quick_mod(len, P - 2, P);
        for(int i = 0; i < len; i++)
            a[i] = a[i] % P * Inv % P;
    }
}

void Conv(LL a[], LL b[], int n)
{
    NTT(a, n, 1);
    NTT(b, n, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = a[i] * b[i] % P;
    NTT(a, n, -1);
}

void Transfer(LL a[], int n)
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        a[i] += t;
        if(a[i] > 9)
        {
            t = a[i] / 10;
            a[i] %= 10;
        }
        else t = 0;
    }
}

void Print(LL a[], int n)
{
    bool flag = 1;
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        if(a[i] != 0 && flag)
        {
            printf("%d", a[i]);
            flag = 0;
        }
        else if(!flag)
            printf("%d", a[i]);
    }
    puts("");
}

int main()
{
    GetWn();
    while(scanf("%s%s", A, B)!=EOF)
    {
        int len;
        Prepare(A, B, a, b, len);
        Conv(a, b, len);
        Transfer(a, len);
        Print(a, len);
    }
    return 0;
}


数学(论)里的一些定理(莫比乌斯反演,傅立叶变换,数论变换...)

标签:fft快速傅里叶变换   ntt快速数论变换   莫比乌斯反演   

原文地址:http://blog.csdn.net/txl199106/article/details/45788079

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