什么是强化学习？

而输出就是：

• 方案 (Policy) = 在每个状态下，你会选择哪个行动？

再详细一点的例子就是：

1. states S = 迷宫中每一格的位置，可以用一对座标表示，例如(1,3)
2. actions A = 在迷宫中每一格，你可以行走的方向，例如：｛上，下，左，右｝
3. rewards R = 当前的状态 (current state) 之下，迷宫中的那格可能有食物 (+1) 、也可能有怪兽 (-100)
4. policy P = 一个由 状态 $\rightarrow$ 行动 的 函数，意即： 这函数对给定的每一个状态，都会给出一个行动。 

第一个想到的问题是： 为什么不用这个方法打造人工智能？  但现时的强化学习算法，只对比较细小和简单的环境适用，对於大的复杂的世界，例如象棋的 $10^\mbox{xxx}$ 状态空间，仍是 intractable 的。

关键就是，高等智慧生物会在脑中建立世界的模型 (world model) 或知识 (knowledge)， 而强化学习只是关心简单的「状态－行动」配对。

强化学习的领导研究者 Richard Sutton 认为，只有这种学习法才考虑到 自主个体、环境、奖励 等因素，所以它是人工智能中最 top-level 的 architecture，而其他人工智能的子系统，例如 logic 或 pattern recognition，都应该在它的控制之下，我觉得颇合理。

所以要制造 strong AI，一个可能的方案就是结合强化学习和某种处理复杂 world model 的能力：

程式

学 AI 最紧要有 program，不然就会很枯燥。  这是我在网上找到的一个特别简单的 demo，作者是 Travis DeWolf：

https://studywolf.wordpress.com/2012/11/25/reinforcement-learning-q-learning-and-exploration/

只要 Python 便可运行，但你可能要 install PyGame。

猫、老鼠、芝士：

猫的行动是简单地朝着老鼠追（没有智能），老鼠的行动是学习出来的。

注意，在 main program 和 cellular.py 这两部分，纯粹是定义了迷宫世界如何运作，基本上是一个 game，里面完全没有智能，你可以用｛上、下、左、右｝ 控制各 agent 的活动，如此而已。

强化学习的程式在 qlearn.py，很短，而真正学习的程式基本上只有一句，就是：

def learnQ(self, state, action, reward, value):

oldv = self.q.get((state, action), None)

《AI－a modern approach》这本书第 21 章有很好的简介。  《AIMA》自然是经典，很多人说他们是读这本书而爱上 AI 的。  这本书好处是，用文字很耐性地解释所有概念和原理，思路很清晰，使读者不致有杂乱无章的感觉。  例如 21 章 首先讲 passive reinforcement learning，意思是当 policy 是固定时，纯粹计算一下 agent 期望的价值（utility，即 rewards 的总和） 会是多少。  有了这基础后再比较不同 policies 的好坏。  这种思路在数学中很常见： 首先考虑简单到连白痴也可以解决的 case，然后逐步引入更多的复杂性。  例如数学归纳法，由 N=1 的 case 推到 N→∞ 。

为免重复，我只解释到明白 Q learning 的最少知识。

Utility (价值，或效用)

U 是一连串行动的 rewards 的总和。  例如说，行一步棋的效用，不单是那步棋当前的利益，还包括走那步棋之后带来的后果。  例如，当下贪吃一只卒，但 10 步后可能被将死。  又或者，眼前有美味的食物，但有些人选择不吃，因为怕吃了会变肥。

一个 state 的效用 U 就是： 假设方案固定，考虑到未来所有可能的 transitions，从这个 state 开始的平均期望的 total reward 是多少 :

$$ U(S_0) = \mathbb{E}[ \; \sum_{t=0}^{\infty} \; \gamma^t \; R(S_t) \; ] $$

实例： 考虑这简单的迷宫：

那些箭咀表示的是众多可能方案中的其中一个。

根据这个方案，由（1，1）开始的运行可能是这个结果：

下面橙色的值是每个 state 的 reward。  在这例子中，每个不是终点的格，也会扣 0.04 分。

但从同一起点，同一方案，也可以出现不同结果，例如在 (1,3) 企图向右爬，但实际结果是向下跌一格； 这些 state transitions 是由外在世界的机率决定的。  （例如某人读了大学文凭，但遇上经济不景，他的薪水未必能达到行动的预期效果。）

同一方案的运行结果可以是：

或者：

Temporal difference (TD) learning

这是 reinforcement learning 的中心思想。

我们还是从简单情况开始：  假设方案固定，目标是学习每个 state 的 utility。

理想的 U(S) 值，是要从 state S 开始，试验所有可能的 transitions，再计算这些路径的 total rewards 的平均值。

但实际上，agent 只能够每次体验一个行动之后的 state transition。

这时要用到另一个关键原理，即著名的 Bellman optimality condition。  它说，如果一系列的选择 ABCDE…… 是最优的，那么这系列除去开始的 A，那 BCDE…… 系列应用在后继的状态上也是最优的。 （例如，你从香港乘车到北京，选择了最便宜的路线，此路线经过 10 个车站，第二站是深圳，但如果除去出发点香港站，那么由第二站深圳到最后的北京站，这路线仍然是这 9 个站之间最便宜的。）

应用在我们的情况，一个 state S 的 U 值，是它自身的 reward，加上所有可能的后继 states 的 U 值，取其机率平均，再乘以 discount factor $\gamma$：

$$ U(S) = R(S) + \gamma \sum_{S‘} P(S \rightarrow S‘) \; U(S‘) $$

其中 P 是 transition 的机率，S‘ 是后继 state，$\sum$ 是对所有后继 states 求和。  换句话说，这是理想的 U(S) 和 U(S 的后继) 之间的关系，是一个 recursive relation。

例如，假设 agent 现时对 state (1,3) 和 state (2,3) 的估值，分别为 0.84 和 0.92。  又假设 agent 察觉到，根据现有方案，在 (1,3) 时总是会发生跳到 (2,3) 这个 transition。  那么这两个 states 的 U 值，应该符合这条约束：

$$ U(1,3) = -0.04 + U(2,3) $$

换句话说，这是两个 states 之间，U 值的 local (局部的)约束。

TD learning 的思想是：  假设其他 U(S‘) 的值正确，利用 Bellman optimality 来调整当下 state 的 U(S)。 当尝试的次数多了，所有 U 值都会趋向理想。 Agent 只需要用这条 update rule：

$$ U(S) \mbox{  +=  } \alpha ( \; R(S) + \gamma U(S‘) - U(S) \; ) $$

$\alpha$ 是 learning rate，它决定学习的速度（但它不能太大，避免 overshooting）。  后面那东西是 U(S) 和 U(S) 的估值 (estimation) 之间的差别。  对於理想的 U(S) 和 U(S‘)，那差别会是 0。  而在每个 time step，我们只是用 $\alpha$ 部分地 调整这个差别。

这个 trick 其实贯穿很多机器学习的方法： 即，一步步地慢慢逼近理想值。  而，每次是增加一个微小的 $\Delta X$，这 $\Delta X$ 是由当前的 estimate 与某个理想约束之差得来的。

最后一提，在上面理想约束的公式里，有对於机率 P 的求和，但在 update formula 中 P 不见了。  那是因为 agent 在环境中的行动，暗含了对於 state transition 机率的 sampling (随机地取样本)。 换句话说，那机率求和是由 agent 本身体现的。

P 是 state transitions 的机率，换句话是关於世界的一个 model。 TD learning 不需要学习 P，所以叫 model-free learning。  但正如开篇时说过，model-free 并不一定是好事，人的智慧就是基於我们对外在世界有一些很好的 models。

Q value

Q 值只是 U 值的一个变种 ;   U 是对每个 state 而言的，Q 把 U 值分拆成每个 state 中的每个 action 的份量。  换句话说，Q 就是在 state S 做 action A 的 utility。

Q 的好处是什么？  下面将会介绍 active learning，而 Q value  配合 TD learning，可以在 active learning 中也消除 P，达到 model-free 的效果。

Q 和 U 之间的关系是：

$$ U(S) = \max_A  \; Q(A, S) $$

上面的 update rule 只要用这个关系改写就行：

$$ U(S) \mbox{  +=  } \alpha ( \; R(S) + \gamma \max_{A‘}  \; Q(A‘, S‘) - Q(A, S) \; ) $$

Active learning

在 passive learning 中，方案不变，我们已经能够计算每个 state S 的效用 U(S)，或者每个 state S 之下行动 A 的效用 Q(S, A)。

如果方案是可以改变的，我们只需计算不同方案的 Q 值，然后在每个 state S 选取相应於最大 Q 值的行动 A，那就是最佳方案，不是吗？

实际上执行的结果，却发现这些 agent 的方案很差！  原因是，学习过程中的 Q 值是 estimate，不是理想的 Q 值，而如果根据这样的 Q 行动，agent 变得很短视，不会找到 optimal policy。  （例如，某人经常吃一间餐馆，但循另一路径走，可以发现更好的餐馆。）

Agent 需要尝试一些未知的状态／行动，才会学到 optimal policy；  这就是所谓的 exploration vs exploitation （好奇心 vs 短暂贪婪）之间的平衡。

方法是，人工地将未知状态的价值增加一点：

$$ U(S) = R(S) + \gamma \max_A \; \mathcal{F}[ \; \sum_{S‘} P(S \rightarrow S‘) U(S‘), \; N(A, S) \; ] $$

其中 N(A, S) 是状态 S 和行动 A 这对组合出现过（被经历过）的次数，$\mathcal{F}$ 是 exploration 函数，它平时回覆正常的 U 的估计值，但当 N 很小时（亦即我们对 S，A 的经验少），它会回覆一个比较大的估值，那代表「好奇心」的效用。

结语

本来想写一篇人人能读懂的 RL 简介，但发觉写到长篇大论才勉强解释完。  希望女朋友能读懂 :)