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我们首先假设在算 dp[i]时，k<j ,j点比k点优。
也就是
dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;
所谓j比k优就是DP方程里面的值更小
对上述方程进行整理很容易得到：
[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].
注意整理中要考虑下正负，涉及到不等号的方向。
左边我们发现如果令：yj=dp[j]+sum[j]*sum[j] xj=2*sum[j]
那么就变成了斜率表达式：（yj-yk）/(xj-xk) <= sum[i];
而且不等式右边是递增的。
所以我们可以看出以下两点：我们令g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
第一：如果上面的不等式成立，那就说j比k优，而且随着i的增大上述不等式一定是成立的，也就是对i以后算DP值时，j都比k优。那么k就是可以淘汰的。
如果不成立，那就说明k比j优，但是随着i的增加sum[i]增加，j始终会替换掉k.
第二：如果 k<j<i 而且 g[k,j]>g[j,i] 那么 j 是可以淘汰的。
假设 g[j,i]<sum[i]就是i比j优，那么j没有存在的价值
相反如果 g[j,i]>sum[i] 那么同样有 g[k,j]>sum[i] 那么 k比 j优 那么 j 是可以淘汰
所以这样相当于在维护一个下凸的图形，斜率在逐渐增大。
通过一个队列来维护。
初始化队列：head=0,tail=0;que[tail++]=0;表示tail处不存决策。
于是对于这题我们对于斜率优化做法可以总结如下：
1，用一个单调队列来维护解集。
2，假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候，我们维护队列的上凸性质，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就将c点删除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止，并将d点加入在该位置中。
3，求解时候，从队头开始，如果已有元素a b c，当i点要求解时，如果g[b,a]<sum[i]，那么说明b点比a点更优，a点可以排除，于是a出队。最后dp[i]=getDp(q[head])；
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define maxn 500010
#define LL int
using namespace std;
LL sum[maxn],dp[maxn];
int que[maxn];
int head,tail;
int n;
LL m;
int getdp(int i,int j)
{
return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}
int getup(int j,int k) //yj-yk部分
{
return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}
int getdown(int j,int k)
{
return 2*(sum[j]-sum[k]);
}
void solve()
{
head=0;
tail=0;
que[tail++]=0; //队列里存储的是决策 //tail处不存决策
for(int i=1;i<=n;i++)
{
//从头开始找当前状态的最优决策,g[que[head+1],que[head]] <= sum[i],说明que[head+1]比que[head]更优，删除que[head]
while(head+1 < tail && getup(que[head+1],que[head]) < getdown(que[head+1],que[head]) * sum[i] )
head++; //注意写成相乘，不然要考虑除数是否为负数
dp[i]=getdp(i,que[head]);
//从尾往前，加入当前状态，如果g[i,que[tail]] <= g[que[tail],que[tail-1]] ,可以排除que[tail]
/* while(head+1 <tail && getup(i,que[tail-1]) * getdown(que[tail-1],que[tail-2]) <= getup(que[tail-1],que[tail-2])*getdown(i,que[tail-1])))
{
tail--; //看到为什么RE了吗？笨蛋，括号打错了
}*/
while(head+1<tail && getup(i,que[tail-1])*getdown(que[tail-1],que[tail-2])<getup(que[tail-1],que[tail-2])*getdown(i,que[tail-1]))
tail--;
que[tail++]=i;
}
/*for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.0lf ",dp[i]);*/
printf("%d\n",dp[n]);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
// init();
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&sum[i]);
sum[i]+=sum[i-1];
}
//for(int i=1;i<=n;i++)
// printf("%lf ",sum[i]);
solve();
}
return 0;
}
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原文地址：http://www.cnblogs.com/xianbin7/p/4510657.html
