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在抽象代数中我们知道有一个（左）群作用的概念。简单复习一下，一个群（或半群）G 作用到一个一般的集合 X 上去，指的是一个满足一定条件的映射 $ \phi :G \times X \to X $ . 这也可以看成是群（或半群）里的任何一个元素 $ g \in G $ 都诱导了一个 X 上的变换 $ g:X \to X $ . 很自然地我们要求这些变换的复合和群乘法之间是相容的。
动力系统基本上是一个单参数群（或半群）的群作用，习惯上我们把参数称为时间 t ，把被作用的集合称为相空间，记作 $\left( {X,{f^t}} \right)$ 其中 t 落在一个指标集中，这个指标集一般也就四种情况，离散的情形是自然数加法半群或整数加群，连续的情况是非负实数加法半群或实数加群。
实践中，相空间通常是带有某种结构的，我们也就常考虑保持这些结构的 $ {{f^t}} $ . 比如测度空间和保测映射、拓扑空间和连续映射、距离空间和等距映射、光滑流形和光滑映射。
动力系统中，诸如“轨道”（半群的话只定义正半轨），“不动点”，“周期点”这些概念都可自然地从群论中搬过来。“不变集”则类似线性代数中的“不变子空间”，表示在群作用下，子集的像包含在其自身的集合（对半群，用映射的完全原象定义反向的不变集，即 ${f^{ - t}}\left( A \right) \triangleq \left\{ {x \in X:{f^t}\left( x \right) \in A} \right\} \subset A$ ）。
在分类方面，我们用半共轭（共轭）来表达类似于代数中满同态（同构）的概念：动力系统 $\left( {Y,{g^t}} \right)$ 到 $\left( {X,{f^t}} \right)$ 的映射称为是半共轭，如果这个映射 $\pi $ 是一个满射，并且使得下图对任意的 t 交换：
我们知道对代数对象来说满同态意味着像可以看成原像的一个商对象（基本同态定理），类似地这里我们把 X 称为 Y 的因子，把 $\pi $ 称为因子映射（类似于代数中的投影）。可逆的半共轭称为共轭，在 X 和 Y 有附加结构的时候，有时也直接用 “同构” 一词。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/yjq24/p/4516136.html
