题目

给定一个n个顶点组成的带权有向图的距离矩阵d(n,n),要求从顶点0出发，经过每个顶点恰好一次后再回到顶点0，怎么样使得经过的变的总权重最小值

分析

因为所有可能的路线有(n-1)!种，可以通过DP来解决
一说到DP，第一步也是最重要的一步是写出递归表达式。假设已经访问过的顶点的集合为S，当前所在的顶点为v。用$dp[S][v]$表示从v出发访问剩余所有顶点，最终回到顶点0的路径的权重和的最小值。
$dp[V][0]=0$
$dp[S][v]=min(dp[ S ∪{u}][u]+d(v,u) | u∈S)$
但是dp的有个下标不是整数，而是一个集合。利用位运算，我们可以把集合改造为一个整数，把一个元素是否在集合里面变成整数对应一个二进制位是否为1

代码

#include <iostream>
#include <limits.h>
#include <string.h>;
using namespace std;
#define MAX_N 5
#define INF 9999
int n=5;
int d[MAX_N][MAX_N]={
        {INF,3,INF,4,INF},
        {INF,INF,5,INF,INF},
        {4,INF,INF,5,INF},
        {INF,INF,INF,INF,3},
        {7,6,INF,INF,INF}
};
int rec(int,int);
int dp[1<<MAX_N][MAX_N];
int main() {
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    int ans=rec(0,0);
    cout<<ans<<endl;

}

int rec(int s,int v){
    if(dp[s][v]>=0){
        return dp[s][v];
    }

    if(s==(1<<n)-1&&v==0){
        return dp[s][v]=0;
    }

    int res=INF;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(!(s>>i & 1)){
            res=min(res,rec(s|1<<i,i)+d[v][i]);
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    return dp[s][v]=res;
}