极锥

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　　对于任意非空集合$C$，都有一个锥与其关联，称作$C$的极锥(polar cone)，定义如下：\begin{align*} C^* = \{ \boldsymbol{y} \ | \ \boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0, \forall \boldsymbol{x} \in C \}. \end{align*}若$C$本身就是闭凸锥，那么$C^*$可以从对偶的角度，给$C$提供一个等价的描述。

　　显然$C^*$是闭半空间的交集，故$C^*$是闭凸锥，这与$C$的闭凸性无关。若$C$是子空间，则$C^*$是$C$的正交子空间$C^\perp$，易知有$C = (C^\perp)^\perp$。下面这个命题是其更一般化的结论，其中(b)中的极锥定理在例1.6.4里已经通过共轭定理给出了证明，这里给出另一个利用投影定理的证明。

　　命题2.2.1：

1. 对于任意非空集合$C$有\begin{align*} C^* = (cl(C))^* = (conv(C))^* = (cone(C))^*. \end{align*}
2. 对于任意非空锥$C$有\begin{align*} (C^*)^* = cl(conv(C)), \end{align*}特别地，若$C$是闭凸的，则$(C^*)^* = C$。

　　证明：

1. 易知对于任意两个集合$X$和$Y$，若$X \subseteq Y$，必有$Y^* \subseteq X^*$，故$(cl(C))^* \subseteq C^*$。若$y \in C^*$，则对于任意序列$\{\boldsymbol{x}_k\} \in C$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x}_k \leq 0$，于是对于任意$\boldsymbol{x} \in cl(C)$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0$，故$\boldsymbol{y} \in (cl(C))^*$，于是$C^* \subseteq (cl(C))^*$，综上有$C^* = (cl(C))^*$。
   同理由$C \subseteq conv(C)$知$(conv(C))^* \subseteq C^*$，若$y \in C^*$，则对于任意$\boldsymbol{x} \in C$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0$，那么显然对于任意$\boldsymbol{z} \in conv(C)$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{z} \leq 0$，故$\boldsymbol{y} \in (conv(C))^*$，于是$C^* \subseteq (conv(C))^*$，综上有$C^* = (conv(C))^*$。
   同理可证$C^* = (cone(C))^*$。
2. 先证明当$C$是闭凸锥时的情况，对于任意$\boldsymbol{x} \in C$，对于任意$\boldsymbol{y} \in C^*$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0$，故$\boldsymbol{x} \in (C^*)^*$，于是$C \subseteq (C^*)^*$。对于任意$\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^n$，设其在$C$上的投影是$\hat{\boldsymbol{z}}$，由投影定理知\begin{align*} (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top (\boldsymbol{x} - \hat{\boldsymbol{z}}) \leq 0, \ \forall \boldsymbol{x} \in C, \end{align*}由于$C$是闭凸锥，故$0 \in C$，$2 \hat{\boldsymbol{z}} \in C$，分别代入上式可得\begin{align*} (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \hat{\boldsymbol{z}} = 0, \end{align*}于是由上两式可得\begin{align*} (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \boldsymbol{x} \leq 0, \ \forall \boldsymbol{x} \in C, \end{align*}故$\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}} \in C^*$。因此对于任意$\boldsymbol{z} \in (C^*)^*$有$(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \boldsymbol{z} \leq 0$，结合$(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \hat{\boldsymbol{z}} = 0$可得\begin{align*} (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}}) \leq 0, \end{align*}故$\boldsymbol{z} = \hat{\boldsymbol{z}} \in C$，于是$(C^*)^* \subseteq C$，综上可得$(C^*)^* = C$。
   若$C$不是闭凸锥，由上面的推理知\begin{align*} ((cl(conv(C)))^*)^* = cl(conv(C)), \end{align*}由(a)知$C^* = (cl(conv(C)))^*$，于是结合上两式可得$(C^*)^* = cl(conv(C))$。

　　对于任意非空凸集$C$，由(a)知$C^* = (cl(cone(C)))^*$，又$cl(cone(C))$是闭凸锥，由(b)知$cl(cone(C)) = ((cl(cone(C)))^*)^* = (C^*)^*$。

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