浮点数的存储

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浮点数在计算机中的存储方式遵循IEEE754标准。

IEEE754标准建立于1985年，80年代起所有的计算机系统均支持IEEE754。

IEEE754定义了32位单精度和64位双精度两种浮点二进制小数标准。

IEEE754用二进制科学记数法来表示浮点数。

32位单精度浮点数，float，占用4Byte，32bit，用1位表示数字的符号，用8位来表示指数，用23位来表示尾数。

SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

64位双精度浮点数，double，占用8Byte，64bit，用1位表示数字的符号，用11位表示指数，52位表示尾数。

SEEEEEEE EEEEMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

1.符号位（Sign）：有正负之分，1代表负，0代表正

2.指数位（Exponent）：用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移码表示。32位单精度浮点数中，指数位为十进制指数加上127后的值的二进制数。能表示的指数范围为-127-128，移码为+127，内存中数值范围为0－255。64位双精度浮点数移码为+1023。

3.尾数部分（Mantissa）：即底数部分，用二进制小数表示。原码表示。因为二进制科学计数法小数部分第一位都是1，将小数点前面的1省略。32位单精度浮点数，23bit的尾数部分，可以表示的精度是24bit。因为9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float精确到小数点后6位。

注意：这里有个特例，浮点数为0时，指数和底数都为0，但此前的公式不成立。因为2的0次方为1，所以，0是个特例。当然，这个特例编译器会自动去识别。

另外：指数位采用移码可以实现快速比较两个浮点数的大小，例如：

1.0×2^-1 不使用移码时表示为：0 11111111 00000000000000000000000 十六进制为：0x7F800000

1.0×2^1 不使用移码时表示为：0 00000001 00000000000000000000000 十六进制为：0x00800000

比较得出的结果是错误的。

1.0×2^-1 使用移码时表示为：0 01111110 00000000000000000000 十六进制：0x3F000000

1.0×2^1 使用移码时表示为：0 10000000 00000000000000000000 十六进制：0x40000000

这样的话，就可以得出正确结果了。

例子：

1、十进制转换为float。将17.625换算成 float型

首先，将17.625换算成二进制：10001.101。再将10001.101向左移，直到小数点前只剩一位。1.0001101 x 2^4

尾数部分，为0001101

指数部分，实际为4，加上127，为131，即10000011

符号部分，由于是正数，所以为0

所以，17.625的float存储格式就是：0 10000011 00011010000000000000000 16进制：0x 41 8D 00 00

2、float转换为十进制。

二进制：11000001 01001000 00000000 00000000 十六进制：0x C1 48 00 00

符号部分：为1，是个负数。

指数部分：为10000010。转为10进制为130，130-127=3，即实际指数部分为3

尾数部分：为10010000000000000000000。在尾数数左边省略存储了一个1，使用实际底数表示为1.10010000000000000000000

现在将科学计数法还原。可以通过指数部分E的值来调整底数部分M的值。这里，E为正3，得： 1100.10000000000000000000

小数点左边的1100表示为 (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20)，其结果为12

小数点右边的 .100… 表示为 (1 × 2-1) + (0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ，其结果为.5

以上二值的和为12.5， 由于S为1，是负数，即-12.5

Java中浮点数的具体特性（转载自码农合作社）

JVM中的浮点数的尾数用2进制数表示。规范化的二进制数小数点出现在非0最高有效位前面。由于二进制数系统只有2个数字，1和0，所以最高有效位上的数字总是1。

在JVM中，浮点数的指数位可以指明该数是不是一个规范化浮点数。如果指数位全0，则为非规范化数，最高有效位肯定是0。其他情况下，则为规范化浮点数，最高有效位肯定是1。

 在JVM中，任何浮点运算都不会抛出异常。类似除数为0的问题操作，JVM会返回一些特殊值，比如正/负无穷，或NaN（不是一个数）。尾数位全是0的情况下，如果指数位全是1，符号位是0，则表示正无穷；如果指数位位全是1，符号位是1，则表示负无穷。如果指数位全是1，尾数位不全是0，则表示NaN。JVM总是为NaN使用相同的尾数：最高有效位是1，其他全为0。

非全0和非全1的指数位表示规范化尾数要乘以的2的幂数。可以把阶码当做一个正数，然后减去一个偏移量，这样就能得到实际的幂数。对float数来说，偏移量是126；而double数，则为1023。例如，一个float数的阶码为00000001，则幂数为-125（1 – 126），这是float中最小的幂数。再看一个例子，如果阶码是11111110，则幂数为128（254 – 126），这是float中最大的幂数。

指数位全0，说明尾数没有规范化，也隐含说明了最高有效为是0，而不是1。这种情况下，幂数为浮点数的最小幂数。对float来说，是-125。这意味着，规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000001，而非规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000000。阶码范围底端的非规范化数修正值，使得下溢出较为平缓。如果最小阶码用来表示规范化数，下溢成0的最小数值会更大一些。 换句话说，让最小阶码表示非规范化数，可以使浮点数能表示更小的数值。虽然非规范化数的精度没有规范化数高，但是，这相对于阶码一旦达到最小规范化数值，浮点数就会下溢成0来说，非规范化数更好一些。

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