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Noip2013花匠题解

时间:2015-05-23 15:33:43      阅读:1089      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:dp

  • 题目描述 Description
    花匠栋栋种了一排花,每株花都有自己的高度。花儿越长越大,也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走,将剩下的留在原地,使得剩下的花能有空间长大,同时,栋栋希望剩下的花排列得比较别致。
    具体而言,栋栋的花的高度可以看成一列整数h1,h2,,hn。设当一部分花被移走后,剩下的花的高度依次为g1,g2,,gm,则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足:
    条件 A:对于所有的1<i<m2g2i>g2i?1g2i>g2i+1
    条件 B:对于所有的1<i<m2g2i<g2i?1g2i<g2i+1
    注意上面两个条件在m = 1时同时满足,当m > 1时最多有一个能满足。
    请问,栋栋最多能将多少株花留在原地。

  • 输入描述 Input Description
    输入的第一行包含一个整数 n,表示开始时花的株数。
    第二行包含 n 个整数,依次为h1,h2,,hn,表示每株花的高度。

  • 输出描述 Output Description
    输出一行,包含一个整数 m,表示最多能留在原地的花的株数。

  • 样例输入 Sample Input
    5
    5 3 2 1 2

  • 样例输出 Sample Output
    3

  • 数据范围及提示 Data Size & Hint
    对于 20%的数据,n10
    对于 30%的数据,n25
    对于 70%的数据,n10000hi1000
    对于 100%的数据,1n100,0000hi1,000,000

  • 题解
    一看这种数据规模,至多是O(nlog2n)的算法。本题又和序列有关,所以要考虑如何用dp的方法解这道题。
    h[i]表示第i株花的高度。
    仔细分析,发现本题的条件A和条件B在m>1时绝对不能同时满足,而且一个合法的序列必定是一个波动序列。我们用f[i][0]表示第i株花作为序列终点且这株花满足条件A时的最多剩下的株数,f[i][1]表示第i株花作为序列终点且这株花满足条件B时的最多剩下的株数,可以得到:
    f[i][0]=max{f[j][1]}+1,1j<ih[j]<h[i];
    f[i][1]=max{f[j][0]}+1,1j<ih[j]>h[i];
    答案ans=max{f[i][0],f[i][1]},1in;
    边界为f[1][0]=f[1][1]=1
    这样我们就得到了一个O(n2)的算法,但这并不能满足要求。

  • 继续分析,受到求序列连续和的启发,我们可以这样设计状态:
    f[i][0]表示i株花中的最后一株(不一定是i)满足条件A时的最多剩下的株数,f[i][1]表示i株花作为序列终点且最后一株(不一定是i)满足条件B时的最多剩下的株数,可以得到:
    h[i]>h[i?1]时,
    f[i][0]=max{f[i?1][0],f[i?1][1]+1},f[i][1]=f[i?1][1];
    h[i]==h[i?1]时,
    f[i][0]=f[i?1][0],f[i][1]=f[i?1][1];
    h[i]<h[i?1]时,
    f[i][0]=f[i?1][0],f[i][1]=max{f[i?1][1],f[i?1][0]+1}.
    答案ans=max{f[n][0],f[n][1]};
    边界为f[1][0]=f[1][1]=1
    这样算法的时间复杂度可以降到O(n),很快就可以通过。

  • 合理设计状态能够更好地发挥动态规划的优势

  • Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int h[maxn], n;
int f[maxn][2];
void init()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);
}
void work()
{
    f[1][0] = f[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(h[i - 1] < h[i])
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] + 1);
            f[i][1] = f[i - 1][1];
        }
        else if(h[i - 1] > h[i])
        {
            f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0] + 1);
            f[i][0] = f[i - 1][0];
        }
        else
        {
            f[i][1] = f[i - 1][1];
            f[i][0] = f[i - 1][0];
        }

    }
    printf("%d", max(f[n][0], f[n][1]));
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}

Noip2013花匠题解

标签:dp

原文地址:http://blog.csdn.net/t14t41t/article/details/45934323

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