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方法一：
首先给出一个神奇的组合数公式： C（n,k）+C(n+1,k)+C(n+2,k)+C(n+3,k)……+C(N,k)
由于： C（n，k）=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)
因此 上式 = - C（n，k+1） + { C（n，k+1）+C(n，k) } + C(n+1,k)……
= - C（n，k+1） + {C（n+1,k+1} + C(n+1,k)…… （发现性质了么？？，C（n+1，k+1）又与C（n+1，k）结合）
= - C（n，k+1）+ C(N+1，k+1)
现在我们来看如何利用上面这种性质：
对于: i^k 我们写成 F（i）= i*（i+1）*（i+2）……*（i+k-1）=C（i+k-1，k）
如果我们把右边的式子展开： i^k + t1 * i^(k-1) ……+ tk-1 * i , 如果我们知道i^p（p<k）的公式 ，那么合并在一起就可以得到i^k的公式了
设S（k）表示1^k+2^k+3^k……+n^k的和，那么：
F(1)+F(2)+F(3)……+F(n)
=C（1+k-1，k）+C(2+k-1，k)……+C（n+k-1，k）
= C（n+k，k+1）
= S(k) + t1 * S(k-1) + t2 * S(k-2) …… + tk-1 * S(1) 则可以得到S(k)的表达式
方法二：
对于1^k+2^k+3^k……+n^k 必然能写成多项式：t1 * n^(k+1) +
t2 * n^k …… 根据这个多项式，我们可以利用高斯消元来求出ti的值 ，由于ti不一定为整数，这里貌似就只能用分数来实现了。
方法三：
设F(K,N) = 1^N+2^N+3^N+4^N+5^N+...+K^N.
我们要讨论的是在O(N^2)时间限制内能求出上式对于任意K的值.
如一般所知,
F(K,1) = (K+1)*K/2
以及N=2时的通式.
那么当N=3,4,5..呢?
下面是求解过程.
假定已经求得了N-1, N-2,...1的通式.
那么对于N,设K固定,表达式简化为Fn
(K+1)^(N+1) = K^(N+1) + C(N,1)*K^N + C(N,2)*K^(N-1) + ... + C(N,N)
K^(N+1) = (K-1)^(N+1) + C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)
... ...
1^(N+1) = 1^N
上面的K+1个式子,分别将等号右边的第一项移位到等号左边.
(K+1)^(N+1) - K^(N+1) = C(N,1)*K^N + C(N,2)*K^(N-1) + ... + C(N,N)
K^(N+1) - (K-1)^(N+1) = C(N,1)*(K-1)^N + C(N,2)*(K-1)^(N-1) + ... + C(N,N)
... ...
1^(N+1) - 1^N = 0
左边累加和 = (K+1)^(N+1) - 1,
右边累加和 = C(N,1)*Fn+C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0
左边=右边,则
Fn=((K+1)^(N+1)-(C(N,2)F(n-1)+ ... + C(N,N)F0 + 1)) / N
得证.
1^k+2^k+3^k+··· ZOJ 3547 UVA 766
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原文地址：http://blog.csdn.net/qq574857122/article/details/45937711
