数据结构——二叉树的操作

这里我们主要讲二叉排序树的操作：

什么是二叉排序树？

1. 或者是一棵空树
2. 或者是具有一下性质的二叉树：
   a.若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；
   b.若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
   c.它的左、右子树也分别为二叉排序树

Tip : 中序（左根右）遍历二叉排序树会得到一个关键字的递增有序序列

二叉排序树的操作——查找

查找步骤：

1. 若查找的关键字等于根节点，成功
2. 若查找的关键字小于根节点，查找其左子树
3. 若查找的关键字大于根节点，查找其右子树
4. 在左、右子树上重复操作1~3

算法思想：

1. 若二叉排序树为空，则查找失败，返回空指针
2. 若二叉排序树非空，将给定的值 key 与根节点的关键字 T->data 进行比较：
   a.若 key 等于 T->data，则查找成功，返回根节点地址；
   b.若 key 小于 T->data ，则进一步查找其左子树；
   c.若 key 大于 T->data，则进一步查找其右子树。

算法描述：

BSTree SearchBST(BSTree T,KeyType key) 
{
   if((!T) || key == T->data)
       return T;         
   else if (key < T->data)  
       return SearchBST(T->lchild,key); //在左子树中继续查找
   else 
       return SearchBST(T->rchild,key);  //在右子树中继续查找
} // SearchBST

查找的性能分析：

平均查找长度和二叉树的形态有关，即，
最好：log2n（形态匀称，与二分查找的判定树相似）
最坏: （n+1)/2（单支树）

问题：如何提高二叉排序树的查找效率？ —— 尽量让二叉树的形状均衡

平衡二叉树（AVL树）：

• 所有结点的左、右子树深度之差的绝对值≤ 1
• 左、右子树是平衡二叉树

对于一棵有 n 个结点的AVL树，其高度保持在 O(log2n) 数量级，ASL也保持在 O(log2n) 量级。

树的平衡旋转！

如果在一棵 AVL 树中插入一个新结点，就有可能造成失衡，此时必须重新调整树的结构，
使之恢复平衡。我们称调整平衡过程为平衡旋转。

• LL平衡旋转
• RR平衡旋转
• LR平衡旋转
• RL平衡旋转

LL平衡旋转：
若在A的左子树的左子树上插入结点，使A的平衡因子从1增加至2，需要进行一次顺时针旋转。
(以B为旋转轴）
=========》

RR平衡旋转：
若在A的右子树的右子树上插入结点，使A的平衡因子从-1增加至-2，需要进行一次逆时针旋转。
(以B为旋转轴）
=========》

LR平衡旋转：
若在A的左子树的右子树上插入结点，使A的平衡因子从1增加至2，需要先进行逆时针旋转，再顺时针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
==①==》==②==》

解释：这里步骤①是根据二叉排序树的特点 A>C>B来做的，因为C>B所以将B作为C的左孩子。
步骤②就是LL平衡转换

RL平衡旋转：
若在A的右子树的左子树上插入结点，使A的平衡因子从-1增加至-2，需要先进行顺时针旋转，再逆时针旋转。
(以插入的结点C为旋转轴）
==①==》==②==》

解释：这里步骤①是根据二叉排序树的特点B>C>A来做的，因为B>C所以将B作为C的右孩子。
步骤②就是RR平衡转换

二叉排序树的操作——插入

插入步骤：

1. 若二叉树为空，则插入节点应为根结点
2. 若二叉树非空，继续在其左、右子树上查找：
   a.树中已经有了要插入的节点，则不再插入
   b.树中还没有要插入的节点：查找直至某个叶子结点的左子树或右子树为空为止，
   则插入结点应为该叶子结点的左孩子或右孩子

注意：插入的元素一定在叶子结点上

二叉排序树的操作——删除

要求：

1.将因删除结点而断开的二叉链表重新链接起来
2.防止重新链接后的树的高度增加

删除总结：

• 删除叶结点，只需将其双亲结点指向它的指针清零，再释放它即可。
• 被删结点缺右子树，可以拿它的左子女结点顶替它的位置，再释放它。
• 被删结点缺左子树，可以拿它的右子女结点顶替它的位置，再释放它。
• 被删结点左、右子树都存在，可以在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小),
  用它的值填补到被删结点中，再来处理这个结点的删除问题。

实例：