首先是定义上
最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。
最短路径是从一点出发，到达目的地的路径最小。
实现方法
1. 最小生成树
最小生成树有两种算法来得到：Prims算法和Kruskal算法。
Kruskal算法：根据边的加权值以递增的方式，一次找出加权值最低的边来构建最小生成树，而且规定：每次添加的边不能造成生成树有回路，知道找到N-1个边为止。
Prims算法：以每次加入一个的临界边来建立最小生成树，直到找到N-1个边为止。其规则为：以开始时生成树的集合（集合U）为起始的定点，然后找出与生成树集合邻接的边（集合V）中，加权值最小的边来建立生成树，为了确定新加入的边不会造成回路，所以每一个新加入的边，只允许有一个顶点在生成树集合中，重复执行此步骤，直到找到N-1个边为止。
以prime算法为例。注意松弛操作部分
#include<iostream>//最小生成树
#define INF 0x1f1f1f1f
#define M 1000
using namespace std;
double dis[M],map[M][M];
bool flag[M];
int prim(int s,int n) //s为起点，n为点的个数
{
int i,j,k,temp,md,total=0;
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=map[s][i]; //与最短路不同，而是将dis置为map[s][i]
memset(flag,false,sizeof(flag));
flag[s]=true; //将起点加入集合
for(i=1;i<n;i++){ //依旧进行n-1次迭代，每次找到不在集合的最小边（n个点有n-1条边）！！！！！！
md=INF;
for(j=1;j<=n;j++){
if(!flag[j]&&dis[j]<md){
md=dis[j];
temp=j;
}
}
flag[temp]=true; //将找到的最小边的点加入集合
total+=md; //并将这个边的权值加到total中
for(j=1;j<=n;j++) //松弛操作，注意与最短路不同
if(!flag[j]&&dis[j]>map[temp][j])
dis[j]=map[temp][j];
}
return total;
}
2 最短路径
算法描述
(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)
1． 置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边)
2． 在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3
3． 对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ∞(若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
复杂度分析
Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)
下面写一下dijkstra为例，主要是松弛操作部分跟prime算法的区别
#include<stdio.h> //最短路
#define maxsum 0x3fffffff
int map[101][101],dist[101],s[101];
void Dijkstra(int n,int x) //n,1,递推实现
{
int mindis,u,i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
{
dist[i]=map[i][x];//map[x][i] is OK，dist表示i到原点的最小距离！
s[i]=0; //printf("%d/n",dist[i]);
}
s[x]=1;// x=1
for(i=1;i<=n;i++)
{
mindis=maxsum;
u=-1;
// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for(j=1;j<=n;j++)
if(s[j]==0 && dist[j]<mindis)//------------(2)
{
u=j; //保存当前邻接点中最小的
mindis=dist[j];
}
s[u]=1;//u点已存入s集合，最小的！所以放外面
//更新dist
for(j=1;j<=n;j++) //-------------------(3)
if(s[j]==0)
if( dist[u]+map[u][j]<dist[j] && map[u][j]<maxsum) //从u点发散出去寻找，map[u][j]<maxsum存在权值 ,map[j][u] is OK
dist[j]=dist[u]+map[u][j];
}
}
int main()
{
int n,m,a,b,c,i,j;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
if(n==0&&m==0) break;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=maxsum;//初始化邻接矩阵
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
map[a][b]=map[b][a]=c;//构造邻接矩阵,对称的！无向！
}
Dijkstra(n,1);
printf("%d/n",dist[n]);
}
return 0;
}
原文地址：http://blog.csdn.net/sheldon761642718/article/details/45967559
