单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

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2.1 模型表达(Model Representation)

• m 代表训练集中实例的数量
• x 代表特征/输入变量
• y 代表目标变量/输出变量
• (x,y) 代表训练集中的实例
• (x(i),y(i) ) 代表第 i 个观察实例
• h 代表学习算法的解决方案或函数也称为假设(hypothesis)

单变量线性回归：只含有一个特征/输入变量 x

$$h_\theta = \theta_0 + \theta_{1}x$$

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2.2 代价函数(Cost Function)

目标便是选择出可以使得建模误差的平方和能够最小的模型参数，使得代价函数$J(\theta_0,\theta_1)$最小

$$J(\theta_0,\theta_1) = {\frac{1}{2m}}\sum_1^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2}$$

$J(\theta_0,\theta_1)$形成的图像：Bowl-shaped弓形函数，又叫convex function 凸函数：

1. $\theta_0 = 0$ 时：
   $J(\theta_1)$随着$\theta_1$的改变而改变

1. $\theta_0 \theta_1$都存在：
   二维上用不同颜色的等高线把Bowl-shaped弓形函数映射为如下右图

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2.3 梯度下降(Gradient Descent)

• 开始：随机选择一个参数的组合(θ0,θ1,…,θn)

• 一直改变(θ0,θ1,…,θn)来减小代价函数$J(\theta_0,\theta_1)$
  直到到一个 局部最小值(local minimum)

  

因为我们并没有尝试完所有的参数组合,所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是 全局最小值(global minimum)
选择不同的初始参数组合,可能会找到不同的局部最小值(如下图)。

批量梯度下降(batch gradient descent)：下降的每一步都使用所有的训练样本。

要同时更新$\theta_0$$\theta_1$:

公式	含义
$\frac\partial{\partial\theta_j}{J(\theta_0,\theta_1)}$	1.该点的切线斜率（slope）：决定下降方向
$\alpha$	2.学习率(learning rate)：决定了下降方向向下迈出的步子有多大。

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1. 切线斜率（slope）：可正可负（下降方向）

2.学习率(learning rate)
$\alpha$过小：下降过慢
$\alpha$过大：过学习，可能不能找到局部最小值或不能收敛

因为随着下降过程，越来越接近局部最小值（此处斜率为0），斜率（梯度）逐渐减小，所以无需减小$\alpha$，下降步子也会随斜率减小。如下图：

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2.4 对线性回归运用梯度下降法

把梯度下降法用于对线性回归求代价函数的最小值：

$$\frac\partial{\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1) = \frac\partial{\partial\theta_j}{\frac{1}{2m}}\sum_1^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2}$$

j=0时：

$$\frac\partial{\partial\theta_0}J(\theta_0,\theta_1) = {\frac{1}{m}}\sum_1^m{(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})}$$

j=1时：

$$\frac\partial{\partial\theta_1}J(\theta_0,\theta_1) = {\frac{1}{m}}\sum_1^m{（(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}) \cdot x^{(i)}）}$$

得到此线性函数$h_\theta(x)$的梯度下降公式：

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2.5 测试