【BZOJ 1010】【HNOI 2008】玩具装箱 toy

借着这个题学习了一下dp的斜率优化，感觉这东西好神啊。。。
先说一下裸的O($n^2$)dp吧:

$$s[i]=\sum_{i=1}^{i} c[i]$$
显然我们有
$$f[i]=\min_{k=0}^{i-1} f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2$$
然而这个转移是O（$n^2$) 的，在n=50000时无法接受，然后我们来考虑一下斜率优化。
我们设定$j<k<i$ 但k比j优 那么
$$f[k]+(s[i]-s[k]+L)^2<f[j]+(s[i]-s[j]+L)^2$$
展开得 $$f[k]+s[i]^2-2*s[i]*(s[k]+L)+(s[k]+L)^2<f[j]+s[i]^2-2*s[i]*(s[j]+L)+(s[j]+L)^2$$
移项得 $$f[k]-f[j]+(s[k]+L)^2-(s[j]+L)^2<2*s[i]*(s[k]-s[j])$$
易得 $$\frac {f[k]-f[j]+(s[k]+L)^2-(s[j]+L)^2}{2*s[i]*(s[k]-s[j])}<s[i]$$
设 $g[j,k]=\frac {f[k]-f[j]+(s[k]+L)^2-(s[j]+L)^2}{2*s[i]*(s[k]-s[j])}<s[i]$
若 $g[j][k]<s[i]$ 则$k$比$j$优
那么我们在更新$f[i]$时显然要从队列里选一个$g[k][k+1]<s[i]$的
但当我们向队列中插入$f[i]$时呢？
设定$j<k<i且g[k][i]>g[j][k]$
假设 $f[k][i]<sum[i]$ 显然 $i$ 比$k$ 更优
反之 $f[k][i]>sum[i]$ 则有 $f[j][k]>f[k][i]>s[i]$ 显然 $j$ 比$k$ 更优
于是我们维护一个单调队列即可啦 code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[50001],xi[50001],s[50001],queue[50001],L;
double g(int i,int j)
{
    return (f[j]-f[i]+(s[j]+L)*(s[j]+L)-(s[i]+L)*(s[i]+L))/(2.0*(s[j]-s[i]));
}
int main()
{
    int i,x,n,head,tail;
    scanf("%d%d",&n,&L); L++;
    xi[0]=s[0]=0; f[0]=0;
    for (i=1;i<=n;++i)
      {
        scanf("%d",&x);
        xi[i]=xi[i-1]+x;
        s[i]=xi[i]+i;
      }
    head=1; tail=1; queue[tail]=0;
    for (i=1;i<=n;++i)
      {
        while (head<tail&&g(queue[head],queue[head+1])<s[i]) head++;
        f[i]=f[queue[head]]+(s[i]-s[queue[head]]-L)*(s[i]-s[queue[head]]-L);
        while (head<tail&&g(queue[tail-1],queue[tail])>g(queue[tail],i)) tail--;
        queue[++tail]=i;
      }
    printf("%I64d\n",f[n]);
}