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此文章为整理资料时所看到的，并非本人所创作，想让更多的人看到，
如有侵权，请告知
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前一段时间看到一个往年程序竞赛的题解, 有一个题目说的是求 100 的阶乘末尾有多少个 0. 题解中给出的讲解提到,一个数 n
的阶乘末尾有多少个 0取决于从 1
到 n的各个数的因子中 2
和 5的个数,
而 2的个数是远远多余 5
的个数的,因此求出 5
的个数即可. 题解中给出的求解因子 5 的个数的方法是用 n 不断除以 5, 直到结果为 0, 然后把中间得到的结果累加. 例如, 100/5 = 20, 20/5 = 4, 4/5 = 0, 则 1 到 100 中因子 5 的个数为 (20 + 4 + 0) = 24 个, 即 100 的阶乘末尾有 24 个 0. 其实不断除以 5, 是因为每间隔 5 个数有一个数可以被 5 整除, 然后在这些可被 5 整除的数中, 每间隔 5 个数又有一个可以被
25 整除, 故要再除一次, ... 直到结果为 0, 表示没有能继续被 5 整除的数了.
今天无意间看到有人问 1000 的阶乘有几位数, 上来就用上面的方法算了一下, 249, 又读一遍题目, 才发现是求所有的位数, 想了好久也没有思路, 无奈用 Python 算了一把, 结果有 2568 位, 可是依然不知道如何计算 1000 阶乘的位数, 还好通过结果验证了末尾有 249 个 0 是正确的...
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后来浏览小百合时找到了一个方法，
这是在 2006 年 11 月 17 日浏览小百合时得到的，当时上不来，就暂存在我的信箱里了。
南京大学小百合站，Algorithm 版，x->18->1 和 x->18-2。
x->18->1:(两处红色标记是我个人加上的，怀疑原文有误，即若有 10 和 100，则前面不应有 90 和 1800)
令结果为 x
x=log2+log3+...+log9
+90+log1.1+log1.2+...+log9.9
+1800+log1.01+log1.02+...+log9.99
+3
=∫logx dx (从2到10)
+90+10∫logx dx(从1.1到9.9)
+1800+ 100∫logx dx (从1.01到9.99)
+3
= ...
后两次积分上限的不同是考虑到修正
x->18->2:
x=(∫log(x)dx(2--1001)+∫log(x)dx(1--1000))/2
=((x*log(x)-∫xdlog(x))(2--1001)+(x*log(x)-∫xdlog(x))(1---1000))/2
=2567.857000.....
我个人的想法：
经过上述两个方法，我猜想求解一个数的位数可以求解该数对其基数的对数（此处是以 10为基数的），找了几个数写了写，发现可以：
一个以 b 为基数的数 N，在以 b 为基数的计数系统中的位数 l，可以通过求 N 对 b 的对数求得。
具体为：l=floor[log b (N) + 1]，即求对数，结果加 1 后向下取整。
例如：
· length(123456789)10=floor[lg(123456789)+1]=floor[8.091514977+1]=9
· length(100000000)10=floor[lg(100000000)+1]=floor[8+1]=9
· length(10101)2=floor[log 2 (23) +1]=floor[4.523561956+1]=5 (10101)2=(23)10
再回到求解 1000的阶乘的位数上，则根据上面的说明，有：(设 1000 的阶乘结果为 N)
length(N)10=floor[lg(N)+1]
=floor[lg(1*2*3*...*999*1000)+1]
=floor[lg1+lg2+lg3+...+lg999+lg1000+1]
=floor[lg2+lg3+...lg999+lg1000+1] <= lg1=0
这时问题转到了求解 lg2+lg3+...+lg999+lg1000 的累加上面。
对于这一方面我不是很清楚(高等数学基本都不记得了...)，不过根据前面两篇文章，好像有：
∑(N=2..1000)lgN = ∫lgxdx (x=2..1000)
如果成立的话，则根据 lgx = lnx/ln10 有：
∫lgxdx (x=2..1000) = (1/ln10)*∫lnxdx (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - ∫xd(lnx)] (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - ∫dx] (x=2..1000)
= (1/ln10)*[x*lnx - x] (x=2..1000)
= x*(lnx - 1)/ln10 (x=2..1000)
然后由牛顿-莱伯尼茨公式可以得到：(也不知道是否能在此处应用...)
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 2*(ln2 -1)/ln10
= [1000*(6.907755279 - 1) - 2*(0.693147181 - 1)]/ln10
= [1000* 5.907755279 - 2*(-0.306852819)]/2.302585093
= [5907.755279 - (- 0.613705639)]/2.302585093
= 5908.368984639/2.302585093
= 2565.97204707
将结果代回前面的式子：
length(N)10 = floor[2565.97204707 + 1] = 2566
原先通过 Python 计算过 1000 的阶乘，位数为 2568 位。
考虑前面推算的过程中把 x=1 时 lg1 略掉了，理论上不应产生区别，但若要是不略掉该项时，则结果变成：
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 1*(ln1 -1)/ln10
= [1000*( 6.907755279 - 1) - 1*(0 - 1)]/ln10
= [1000*5.907755279 - 1*(-1)]/2.302585093
= [5907.755279 + 1]/2.302585093
= 5908.755279/2.302585093
= 2566.13981258
length(N)10 = floor[2566.13981258 + 1] = 2567
原文地址：http://blog.csdn.net/ucan23/article/details/46003743
