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第七章 DFT离散傅里叶变换
离散对周期，连续对非周期。
连续频谱计算起来不方便，所以要考虑离散频谱。
DFT是分析离散时间信号的。
N点DFT中的N指的是在频域中采样个数是N个点。
对频域的等间隔采样相当于对时域做周期延拓。这两组是一对DFT。0<=n<=N-1
7.2 DFT的性质
周期性：时域x(n)和频域X(K)的周期都是N（由公式得到）
线性：定义得到
循环对称性：一个时间序列和它的周期延拓（延拓周期长度大于原序列）的DFT是相等的，因为做DFT时只取那N个点，只要这个周期N个点的值不变就不变。
对长度小于N的信号，其周期延拓和它本身的DFT一样。
circular shift循环移位，7.2.10给出了循环移位的表达式，N点的循环移位相当于先对原来的信号做N点的周期拓展，再线性时移，最后再截取0到N-1这一段。用图表示也就相当于原来的圆周旋转。
在圆周上的对称和正常的对称会有区别 偶对称x(N-n)=x(n),类似的有奇对称。同理有时间反转，对0到N-1而言。因为x（n)只考虑0到N-1这一段，而xp(n)则是周期延拓，定义在整个区间上的。
DFT的对称性质：
DFT的所有对称性质来源
7.2.2两个DFT相乘与循环卷积的问题
两个序列的DFT相乘相当于时域的循环卷积。
总结下大致的证明过程：
先求两个序列的DFT，对应相乘得到第三个序列的DFT，之后做IDFT，把前两个序列的时域表达式代入，以便考虑时域的关系。之后移动累加符号，保留前两个时域的累加符号。另外的累加符号用于等比公式，发现给定m与n以后，只有一个l符合。于是得到相关式子。
7.2.3 DFT的性质
时域循环反转对应频域循环反转。
练习题：
7.1由7.24直接得到
7.2
a,easy
b,easy
c,先分别对x1(n),x2(n)做DFT得到X1（k),X2(K)，再对应相乘得到X3（K).
7.3去除了高频分量
7.4先做DFT再相乘去求循环卷积。
7.5由帕塞瓦尔定理。
7.6把cos函数替换成指数函数。
7.7module N的作用是把值映射到0到N-1的范围内
7.8 与例子7.2.1一样
7.9 easy
7.10可以用帕塞瓦尔在DFT上做，也可以在时域上做。
7.11循环时间移动的性质。
7.12 mod符号的作用是吧n的值映射到0到N-1
7.13easy
7.14 easy
7.15Z变换与DFT的关系比较简单，单位圆，N点采样即可。
7.16 easy
7.17直接用DFT公式，离散的频谱。
7.18 X（K)=1
7.19
7.20 由DFT条件容易得到
7.21
a,Fs是带宽的二倍，6000赫兹。
b,128个点
c,采样周期乘以点数
7.22,23，24 easy
7.25 a，傅里叶变换 b,DFT变换 c频域上等间隔采点相当于时域上做N点的周期延拓。这里的v(n)相当于先对x(n)做周期延拓，再取0到N-1的值，
7.26左边做DFT，再做IDFT得到右边。也可以直接通过时域的方法来证明。
7.27 X（w）与y(n)的DFT
7.28（a)plot函数直接出来（b）对称合并 弧度从0到pi（c）（d）(e)x(n)无混叠的周期延拓
7.29 书上公式7.1.11推出了频域采样点和连续频谱之间的关系。
7.30 （a）plot解决战斗（b)(c)(d)fft(x(n),N) (e)调制的话相当于频谱搬移
7.31 频域采样点个数越多，分辨率越高。
7.32 easy
虽然勉强把这些题做完了，但还要把本章公式从都到尾推一边才行。。。感觉学的好渣。。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/optimization/p/4508748.html
