动态规划（DP）之最长上升子序列

问题描述

一个数的序列$a_i$ ，当$a_1 < a_2 < ... < a_S$的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列$(a_1 , a_2, ..., a_N)$，我们可以得到一些上升的子序列$(a_{i1} ,a_{i2}, ...,a_{ik})$，这里$1 <= i1 <i2 < ... < iK <= N$。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) ，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8) 等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入数据

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000) 。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到 10000。

输出要求

最长上升子序列的长度。

输入样例

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例

4

解题思路

找子问题

“求以$a_k$（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度” 一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

确定状态

子问题只和一个变量– 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以$a_k$做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

找出状态转移方程

maxLen (k) 表示以$a_k$做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：

初始状态： maxLen (1) = 1
maxLen (k) = max { maxLen (i) ： 1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i, 则 maxLen(k) = 1

maxLen(k) 的值，就是在$a_k$左边，“终点”数值小于$a_k$ ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1 。因为 ak左边任何“终点”小于$a_k$的子序列，加上$a_k$后就能形成一个更长的上升子序列。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include "string.h"

#define Max 1001

using namespace std;

int D[Max];
int Maxlen[Max];

int num;


int main(int argc, char const *argv[])
{
    int i, j;
    int max_len = 0;

    cin >> num;

    for(i = 1; i <= num; i ++){
        cin >> D[i];
        Maxlen[i] = 1;

    }

    for(i = 2; i <= num; i++)
        for(j = 1; j < i; j++){
            if(D[i] > D[j])
                Maxlen[i] = max(Maxlen[i], Maxlen[j]+1);
        }

    for(i = 1; i <= num; i++)
        if(Maxlen[i] > max_len)
            max_len = Maxlen[i];
    cout << max_len << endl;
    return 0;
}