欧拉线性筛法求素数(顺便实现欧拉函数的求值)

标签：欧拉筛法   素数   欧拉函数   phi   

我们先来看一下最经典的埃拉特斯特尼筛法。时间复杂度为O(n loglog n)

int ans[MAXN];
void Prime(int n)
{
	int cnt=0;
	memset(prime,1,sizeof(prime));
	prime[0]=prime[1]=0;
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(vis[i])
		{
		   ans[cnt++]=i;//保存素数 
		   for(int j=i*i;j<n;j+=i)//i*i开始进行了稍微的优化
		   prime[j]=0;//不是素数 
		}
	}
	return ;
}

由此，我们也可以发现有的合数被重复筛除，例如30，2*15筛了一次，5*6重复筛除，所以也就有了我们下面要提到的欧拉线性筛法。

不会重复筛除，是线性O（n）的复杂度。

const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数 
bool vis[MAXN];//初始化 
void Prime(int n)
{
	int cnt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)//关键 
			break;
		}
	}
	return cnt;//返回小于n的素数的个数 
}

如果还不是很理解，可以手动模拟一下。

直接应用的一个简单例子。求n以内的素数个数。

http://blog.csdn.net/nk_test/article/details/46242311

欧拉函数：在数论中，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

先给出一个结论：

 设P是素数，

 若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p.

 若p不是x的约数，则E(x*p)=E(x)*E(p)=E(x)*(p-1).

证明如下：

E(x)表示比x小的且与x互质的正整数的个数。
*若p是素数，E(p)=p-1。
*E(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*P^(k-1)
证：令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中与p不质的数共[p^(k-1)-1]个(分别为1*p,2*p,3*p...p(p^(k-1)-1))。
所以E(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1).得证。
*若ab互质，则E(a*b)=E(a)*E(b)，欧拉函数是积性函数.
*对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).
则E(n)=E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an)     
      =(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1)
      =(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn)
      =n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)
* E(p^k)    =(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p
  E(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)
->当k>1时，E(p^k)=E(p*p^(k-1))=E(p^(k-1))*p.
  (当k=1时，E(p)=p-1.)
由上式: 设P是素数，
  若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p.
  若p不是x的约数，则E(x*p)=E(x)*E(p)=E(x)*(p-1).   证明结束。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824  具体的应用

求一段区间的欧拉函数的和。

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数 
bool vis[MAXN];//初始化 
int phi[MAXN];//欧拉函数 
void Prime(int n)
{
	int cnt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			phi[i]=i-1;// if p is prime,then phi[i]=i-1
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			__int64 k=i*prime[j];
			vis[k]=1;
			if(i%prime[j]==0)//关键 
			{
				phi[k]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else
			phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
		
		}
	}
}
int main()
{
	int a,b;
	Prime(3000000);
	while(cin>>a>>b)
	{
		__int64 ans=0;
		for(int i=a;i<=b;i++)
		ans+=phi[i];
		cout<<ans<<endl;
	}
}

还有 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3501  

分析：对于整数n，如果x(x<n)与n互质，那么(n-x)也与n是互质的；同理如果x(x<n)与n不互质，那么(n-x)也与n是不互质的。知道这个之后就可以得出：在0<x<n时，存在这样的x与n互质的个数假设为num(可以通过欧拉函数求得)，那么所有与n互质的x的和sum=num*n/2.

/*利用欧拉函数即可求解，1~n比n小且与n互素的数的总和为
sum(n) = n * phi(n) / 2;那么可以先求出1~n-1的总和，然后
减去sum(n)即可。*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MOD 1000000007
LL n;
LL Eular(LL n) {
    LL cnt=1;
    for(int i=2; i*i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            cnt*=(i-1);
            n/=i;
            while(n%i==0) {
                n/=i;
                cnt*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)cnt*=(n-1);
    return cnt;
}

int main() {
    while(~scanf("%lld",&n)&&n) {
        LL ans=(n+1)*n/2-n;
        ans-=Eular(n)*n/2;
        printf("%I64d\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}

欧拉线性筛法求素数(顺便实现欧拉函数的求值)

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原文地址：http://blog.csdn.net/nk_test/article/details/46242401