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非线性方程的数值解法通常有逐步搜索法，二分法，迭代法，牛顿法，牛顿下山法，弦截法，抛物线法。。。
从迭代法开始讨论
比如一个方程 f(x)=0 没有求根公式，只能用数值的方式来解决，那么就必须用迭代来求解
很多数学方面的书会告诉你上面的这些XX法怎么做，可是他们TMD就是不告诉你为什么这些迭代方式是有效的！
学了泛函我才知道原来涉及到 不动点理论，压缩映射，范数 这些东西。你们这些写书的把这些东西写在数值法解非线性方程部分的前面会死啊！
设第n步迭代结果为 xn
那么这些XX法总会构造这么个 迭代函数 xn+1=T（xn)，或者也可以写成xn+1=xn+Δxn
假如 Δxn 足够小后我们就可以认为迭代结束了，因为迭代下去也不会有什么改变了
或者说此时 xn+1 和 xn 已经相等了，这时候的 x 就叫不动点，因为它不会再变化了。
泛函里头一堆XXX的理论会告诉你，假如一个映射 T 是 压缩映射，那么这个映射构造出来的 迭代函数 一定会有一个不动点。
这就是说我们构造出来的迭代函数 T 必须是压缩映射。
有了一个压缩映射，不管你的初始值选什么，迭代了足够多的步数后就会使得 xn 趋向于一个不动点，而这个 不动点往往就是实际问题的解
注意：构造出来的压缩映射可以有很多种，只不过是 压缩效率 不同导致达到同样的精度所需要的步数多少而已的问题
现在来简单的解释什么是压缩映射
压缩映射：要求 矩阵的范数 或者 函数导数的绝对值小于1
对于这一点读者记住就可以了，压缩压缩嘛，当然是比之前的小，所以小于1。
我们当然希望压缩效应越明显越好。所以构造不同的迭代函数达到同样的精度所需要的迭代步数有多有少。
其实这篇博客的东西还能粗略的解释 方程组的数值解法 中构造的 迭代矩阵 要求 范数小于1 的原因。
泛函里头还有一个结论：矩阵范数的选取和收敛性无关
就是说不管方程组的数值解法的迭代矩阵选什么范数，只要小于1那么就是压缩映射，就能通过迭代找到方程组的解
解方程组里的迭代矩阵，解方程里的迭代函数都不过是种映射。不过是一个更抽象的问题的不同表现形式而已。
当然，因为很多时候一个函数导数的绝对值不是在整个X轴上都是小于1的，
所以有的时候我们只能在判定方程的解就在某个区间内且这个区间内函数导数的绝对值小于1才能用迭代这种方式
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原文地址：http://www.cnblogs.com/shepherd2015/p/4547640.html
