特征选择（三）-K-L变换

上一讲说到，各个特征（各个分量）对分类来说，其重要性当然是不同的。
舍去不重要的分量，这就是降维。

聚类变换觉得：重要的分量就是能让变换后类内距离小的分量。

类内距离小，意味着抱团抱得紧。

可是，抱团抱得紧，真的就一定easy分类么？

如图1所看到的，依据聚类变换的原则，我们要留下方差小的分量，把方差大（波动大）的分量丢掉，所以两个椭圆都要向y轴投影，这样悲剧了，两个重叠在一起，根本分不开了。而还有一种情况却能够这么做，把方差大的分量丢掉，于是向x轴投影，非常顺利就能分开了。因此，聚类变换并非每次都能成功的。

图1

摧枯拉朽的K-L变换

K-L变换是理论上“最好”的变换：是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。

聚类变换另一个问题是，必须一类一类地处理，把每类分别变换，让它们各自抱团。

K-L变换要把全部的类别放在一起变换，希望通过这个一次性的变换，让它们分的足够开。

K-L变换觉得：各类抱团紧不一定好区分。目标应该是怎么样让类间距离大，或者让不同类好区分。因此相应于2种K-L变换。

其一：最优描写叙述的K-L变换（沿类间距离大的方向降维）

首先来看个二维二类的样例，如图2所看到的。

图2

假设使用聚类变换，方向是方差最小的方向，因此降维向方向投影，得到2类之间的距离即为2条红线之间的距离，可是这并非相隔最远的投影方向。将椭圆投影到方向，得到2类之间的距离为2条绿线之间的距离。这个方向就是用自相关矩阵的统计平均得到的特征向量

设共同拥有M个类别，各类出现的先验概率为

以表示来自第i类的向量。则第i类集群的自相关矩阵为：

混合分布的自相关矩阵R是：

然后求出R的特征向量和特征值：

将特征值降序排列（注意与聚类变换差别）

为了降到m维，取前m个特征向量，构成变换矩阵A

以上便完毕了最优描写叙述的K-L变换。

为什么K-L变换是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换？

当中表示n维向量y的第j个分量，表示第个特征分量。

引入的误差

均方误差为

从m+1開始的特征值都是最小的几个，所以均方误差得到最小。

以上方法称为最优描写叙述的K-L变换，是沿类间距离大的方向降维，从而均方误差最佳。

本质上说，最优描写叙述的K-L变换扔掉了最不显著的特征，然而，显著的特征事实上并不一定对分类有帮助。我们的目标还是要找出对分类作用大的特征，而不应该管这些特征本身的强弱。这就诞生了第2种的K-L变换方法。

其二：最优区分的K-L变换（混合白化后抽取特征）

针对上述问题，最优区分的K-L变换先把混合分布白化，再来依据特征值的分离程度进行排序。

最优区分的K-L变换步骤

首先还是混合分布的自相关矩阵R

然后求出R的特征向量和特征值：

以上是主轴变换，实际上是坐标旋转，之前已经介绍过。

令变换矩阵

则有

这个作用是白化R矩阵，这一步是坐标尺度变换，相当于把椭圆整形成圆，如图3所看到的。

图3

以二类混合分布问题为例。

分别求出二类的特征向量和特征值，有

则二者的特征向量全然同样，唯一的据别在于其特征根，并且还负相关，即假设取降序排列时，则以升序排列。

为了获得最优区分，要使得两者的特征值足够不同。因此，须要舍弃特征值接近0.5的那些特征，而保留使大的那些特征，按这个原则选出了m个特征向量记作

则总的最优区分的K-L变换就是：

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