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1.设$1 \le p \le q \le +\infty$，证明$l^p \subset l^q$。
证明：$\forall x=(x_1,x_2,\ldots) \in l^p$，$\forall \varepsilon >0$，恒存在自然数N，使得$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p<\varepsilon^p$，
那么可得
${||x_k||}^p<\varepsilon^p \Rightarrow {||x_k||}<\varepsilon，p \ge 1$，
进而
$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^q \le \varepsilon^{q-p}\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p< + \infty$
所以$x \in l^q$
2.设[a,b]是有界闭区间，证明$L^2([a,b]) \subset L^1([a,b])$。
证明：$\forall x \in L^2([a,b]) $，有$[\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}<+\infty$，那么
$\int_a^b|f|dt \le [\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}[\int_a^b 1 dt]^{\frac{1}{2}} < +\infty$
因此，$ x \in L^1([a,b]) $
3.设$(X,d)$是一个距离空间，中心在$x_0$，半径为r的开球定义为
$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$
集合$A \subset X$是开集是指对于任意的$x_0 \in A$，恒存在以$x_0$为中心的开球包含在A中。
（1）证明开球是开集；
（2）开集全体构成的集合是X上的一个拓扑。
证明：
（1）对于任意开球$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$，存在$B(x_0,r/2) \subset B(x_0,r)$，所以开球是开集。
（2）显然，开集全体构成的集合满足拓扑的定义。
4.证明$d(x,y)=|arctanx-arctany|$是R上的距离。
证明：
(1)非负性：$d(x,y)=|arctanx-arctany| \ge 0$，$d(x,y)=|arctanx-arctany|=0 \Leftrightarrow x=y $ 因为$arctanx$是一个单调函数；
(2)交换性：显然$d(x,y)=d(y,x)$；
(3)三角不等式：$\forall x,y,z \in R$,
$d(x,y)=|arctanx-arctany|=|arctanx-arctanz+arctanz-arctany| \le |arctanx-arctanz|+|arctanz-arctany|=d(x,z)+d(y,z)$
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原文地址：http://www.cnblogs.com/connorzx/p/4550136.html
