查找——图文翔解Treap（树堆）

之前我们讲到二叉搜索树，从二叉搜索树到2-3树到红黑树到B-树。
二叉搜索树的主要问题就是其结构与数据相关，树的深度可能会很大，Treap树就是一种解决二叉搜索树可能深度过大的另一种数据结构。

Treap

Treap=Tree+Heap。Treap本身是一棵二叉搜索树，它的左子树和右子树也分别是一个Treap，和一般的二叉搜索树不同的是，Treap纪录一个额外的数据，就是优先级。Treap在以关键码构成二叉搜索树的同时，还满足堆的性质。这些优先级是是在结点插入时，随机赋予的，Treap根据这些优先级满足堆的性质。这样的话，Treap是有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树，其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为O(logn)。相对于其他的平衡二叉搜索树，Treap的特点是实现简单，且能基本实现随机平衡的结构。
Treap维护堆性质的方法只用到了旋转，只需要两种旋转，编程复杂度比Splay要小一些。

插入 

给节点随机分配一个优先级，先和二叉搜索树的插入一样，先把要插入的点插入到一个叶子上，然后跟维护堆一样，如果当前节点的优先级比根大就旋转，如果当前节点是根的左儿子就右旋，如果当前节点是根的右儿子就左旋。

删除

删除一个节点有两种方式，可以像删除二叉树节点那样删除一个节点，也可以像删除堆中节点那样删除。

1、用二叉搜索树的方式删除
先在二叉查找树中找到要删除的节点的位置,然后根据节点分以下情况:
情况一:
该节点是叶节点(没有非空子节 点的节点),直接把节点删除即可。

情况二：
该节点是链节点(只有一个非空子节点的节点),为了删除这个节点而不影响它的子树,需要把它的子节点代替它的位置,然后把它删除。

情况三：
该节点有两个非空子节点。由于情况比较复杂,一般的策略是用它右子树的最小值来代替它,然后把它删除。如图所示,删除节点2时,在它的右子树中找到最小的节点3, 该节点一定为待删除节点的后继。删除节点3(它可能是叶节点或者链节点),然后把节点2的值改为3。
（当然，我们也可以使用结点的左子树的最大值来替代它，为了不使Treap向一边偏沉,我们可以随机地选取是用后继还是前驱代替它, 并保证两种选择的概率均等。）

关于查找最小值：
基本方法就是从子树的根节点开始, 如果左子节点不为空,那么就访问左子节点,直到左子节点为空,当前节点就是该子树的最 小值节点。删除它只需用它的右子节点代替它本身。

2、用堆的方式删除

因为Treap满足堆性质，所以只需要把要删除的节点旋转到叶节点上，然后直接删除就可以了。
具体的方法：
如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级，右旋该节点,使该节点降为右子树的根节点，然后访问右子树的根节点,继续操作；

反之，左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点，然后访问左子树的根节点，继续操作，直到变成可以直接删除的节点。
（即：让小优先级的结点旋到上面，满足堆的性质）

删除最多进行O(h)次旋转，期望复杂度是O(logn)。

查找

和一般的二叉搜索树一样，但是由于Treap的随机化结构，Treap中查找的期望复杂度是O(logn)。 

对比 

与 Splay树 相比:
Splay 和 BST 一样,不需要维护任何附加域,比 Treap 在空间上有节约。但 Splay 在查找时也会调整结构,这使得 Splay 灵活性稍有欠缺。Splay 的查找插入删除等基本操作的时间复杂度为均摊O(logN)而非期望。可以故意构造出使 Splay 变得很慢的数据。

与AVL 红黑树相比：
AVL 和红黑树在调整的过程中,旋转都是均摊 O(1)的,而 Treap 要 O(logN)。与 Treap 的随机优先级不同,它们维护的附加域要动态的调整,而 Treap 的随机修正值一经生成不再改变,这一点使得灵活性不如 Treap。
AVL 和红黑树都是时间效率很高的经典算法,在许多专业的应用领域(如 STL)有着十分重要的地位。然而AVL和红黑树的编程实现的难度要比Treap大得多。

维护子树的大小

Treap 是一种排序的数据结构,如果我们想查找第k小的元素或者询问某个元素在Treap中从小到大的排名时,我们就必须知道每个子树中节点的个数。
由于插入、删除、旋转等操作,会使每个子树的大小改变,所 以我们必须对子树的大小进行动态的维护。

对于旋转,我们要在旋转后对子节点和根节点分别重新计算其子树的大小。 
对于插入,在寻找插入的位置时,每经过一个节点,都要先使以它为根的子树的大小增加 1,再递归进入子树查找。 
对于删除,在寻找待删除节点,递归返回时要把所有的经过的节点的子树的大小减少 1。要注意的是,删除之前一定要保证待删除节点存在于 Treap 中。
 
（维护了子树的大小，我们就可以求“排名第k的元素”这样的问题了。快排也能求“第k大”问题，但是快排适合静态的数据，对于经常变动的数据，我们用树结构来维护更灵活。）
（我们还可以求“某个元素的排名”，我们的基本思想是查找目标元素在 Treap 中的位置,且在查找路径中统计出小于目标元素的节点的总个数,目标元素的排名就是总个数+1。即：在查找的路径中统计小于目标元素的个数，当找到目标元素后加上其左子树的个数即可。）

举个栗子

Treap 是一种高效的动态的数据容器,据此我们可以用它处理一些数据的动态统计问题。

一、一个应用实例
[问题描述] 有一个游戏排名系统,通常要应付三种请求:上传一条新的得分记录、查询某个玩家的当前 排名以及返回某个区段内的排名记录。当某个玩家上传自己最新的得分记录时,他原有的得 分记录会被删除。为了减轻服务器负担,在返回某个区段内的排名记录时,最多返回 10 条 记录。
[求]
（1）更新玩家的得分记录
（2）查询玩家排名（如果两个玩家的得分相同, 则先得到该得分的玩家排在前面。）
（3）查询第 Index 名开始的最多 10 名玩家名字

[解]
因为作为字符串的姓名是不便于处理的,我们给每个玩家都制定一个ID,首先要建立一个由姓名到玩家ID的映射数据结构。为了查找快速,可以用Trie树。之后我们建立一个双关键字的Treap,关键字1为得分从小到大,关键字2为时间戳从大到小,这种排列方式的逆序,恰好是我们要的顺序(也可以直接就是逆序)。

对于问题（1），先查询玩家是否已经存在,如果已经存在,在Treap中更新对应已经存在的记录。
对于问题（2），就是基本的求排名操作。
对于问题（3），就是分别查找第(总记录数 + 1 – k)小的记录。

二、双端优先队列的实现
优先队列(Priority Queue)是一种按优先级维护进出顺序的数据容器结构,可以选择维护实现取出最小值或最大值。我们通常用堆实现优先队列,通常取出最值的时间复杂度为 O(logN)。
用最小堆可以实现最小优先队列,用最大堆可以实现最大优先队列。但是如果我们要求一种 “双端优先队列”,即要求同时支持插入、取出最大值、取出最小值的操作,用一个单纯的堆就不能高效地实现了。
（可以用两个堆来实现，两堆中的元素都互指，但维护两个堆比较复杂。）

我们可以方便地使用Treap实现双端优先队列,只需建立一个 Treap,分别写出取最大值和最小值的功能代码就可以了, 无需做任何修改。由于Treap平衡性不如堆完美,但期望时间仍是 O(logN)。更重要的是在 实现的复杂程度上大大下降,而且便于其他操作的推广。所以,用 Treap 实现优先队列不失为一种便捷而又灵活的方法。

其它：

平衡树并不适合作为所有数据类型的数据的有序存储容器,因为可能有些类型的两个元素直接相互比较大小是十分 耗时的,这个常数时间的消耗是无法忍受的。例如字符串,作为检索字符串的容器,我们更推荐Trie树,而不是平衡树。平衡树仅适合做元素间相互比较时间很少的类型的有序存储容器。

【参考】

中文维基百科http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91%E5%A0%86
《随机平衡二叉查找树Treap的分析与应用》 清华大学计算机系 郭家宝