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神、上帝以及老天爷

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N张字条的所有排列可能自然是A(N,N)= N!种排列方式
现在的问题就是N张字条的错排方式有几种。分两种情况讨论
①：如果前面N-1个人拿的都不是自己的字条，即前N-1个人满足错排，那么只要第N个人把自己的票与前面N-1个人中的任意一个交换，就可以满足N个人的错排。这时有f(N-1)种方法。

②：如果前N-1个人不满足错排，而第N个人把自己的字条与其中一个人交换后恰好满足错排。即在前面N-1人中，有N-2个人满足错排，有且只有一个人拿的是自己的字条，而第N个人恰好与他做了交换，这时候就满足了错排。这时有f(n-2)种方法

对于①，因为前N-1个人中，每个人都有机会与第N个人交换，所以有N-1种交换的可能。
对于②，因为前N-1个人中，每个人都有机会拿着自己的字条。所以也有N-1种交换的可能。

所以得错排递推公式 
1.D[n] = (n-1)*(D[n-1]+D[n-2])

D(1)=0;D(2)=1;

由于计算n!和D[n]数字会非常大，所以我们采用边做边除而不是先算D(n)，再除n!的方法。
1.已知D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2]); 
2.f[n]=D[n]/n!;则有D[n]=n!*f[n]; 
3.代入可得f[n]=(n-1)(f[n-1]*(n-1)!+f[n-2]*(n-2)!)/n!; 
4.即得到错排概率公式f[n]=(f[n-1](n-1)+f[n-2])/n;

#include <stdio.h>
int main()
{
    double a[22]={0,0,1};
    __int64 i,n=3,m,t,j;
    char d='%';
    while(n<22)
    {
        a[n]=(n-1)*(a[n-1]+a[n-2]);
        n++;
    }
    while(scanf("%d",&i)!=EOF)
    {
        while(i--)
        {
            t=1;
            scanf("%d",&m);
            for(j=1;j<=m;j++) t*=j;
            printf("%.2lf%%\n",a[m]*100/t);
        }
    }
    return 0;
}

ac代码；

#include <stdio.h>
int main()
{
    double a[22]={0,0,0.5};
    int i,n=3,m,t,j;
    while(n<22)
    {
        a[n]=(a[n-1]*(n-1)+a[n-2])/n;
        n++;
    }
    while(scanf("%d",&i)!=EOF)
    {
        while(i--)
        {
            scanf("%d",&m);
            printf("%.2lf%%\n",a[m]*100);
        }
    }
    return 0;

HDN2048（递推之错排列）

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原文地址：http://blog.csdn.net/l55iuming/article/details/46366017