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$ Fibonacci是形如这样的数列\{{a_n}\} ， \forall n 有：$
$ a_n = \begin{cases} a_{n-1} + a_{n-2} & n \geqslant 2 \\ 0 & n = 0, 1 \end{cases} $
$ 根据特征根方程易得通项公式为：
$\quad a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \Bigl[ \Bigl( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Bigr) ^ n - \Bigl( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Bigr) ^ n \Bigr] $
$ 现在考虑这样一个有趣的问题：爬楼梯，但是每次只能上1级或2级台阶，试问爬至第n级阶梯共有多少种走法 $
$ 记爬至第n级阶梯共有 a_n 种走法，则由加法原理易得：a_n = a_{n-1} + a_{n_2}，其中 a_0 = a_1 = 1. $
$ 另一方面，假设在某种走法中，走了 x 次1级阶梯， y 次2级阶梯，即共走了 (x+y) 次，合计 (x+2y = n) 级阶梯，
$ 即相当于从 (x+y) 次中选择 y 次走2级阶梯有多少种选法：
$ \therefore a_n = \sum {C^y_{x+y}} = \sum_{k=0}^{[n/2]} {C^k_{n-k}} = {C^0_n} + {C^1_{n-1}} + ... + {C^{[n/2]}_{n-[n/2]}}$
$ 证略（数学归纳法）
$ 推广到多项的Fibonacci数列， a_n = a_{n-1} + a{n-2} + ... + a{n-k} = \sum^k_{i=1} a_{n-i} $
$ 其组合数通项公式可表示为：
$ a_n = \sum {\prod^k_{i=1} {C^{x_i}_{x_{i+1}}}} $
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原文地址：http://www.cnblogs.com/reco-pi/p/4553040.html
