空间解析几何

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$ 直线与直线间关系$

$ l_1: \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \qquad  l_2: \begin{cases} A_3x + B_3y + C_3z + D_3 = 0 \\ A_4x + B_4y + C_4z + D_4 = 0 \end{cases} $

$ 1.\ 异面（不相交）成立条件：$

$ \quad \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 & D_3 \\ A_4 & B_4 & C_4 & D_4 \end{vmatrix} \neq 0 $

$ 证：原命题等价于 l_1，l_2联立方程组在什么情况下无解 $

$ 联立方程组得：$

$ \quad \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 & D_3 \\ A_4 & B_4 & C_4 & D_4 \end{bmatrix}·\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \theta_{4\times4} $

$ i. 当系数矩阵的模不为0时，即满秩可逆，若等式两边同左乘系数矩阵的逆矩阵，则有(x, y, z, 1) = (0, 0, 0, 0) $ $，矛盾，即无解，故两直线不可能有交点，互为异面关系。$

$ ii. 当系数矩阵的模为0时，即秩小于4，若等式两边同左乘一矩阵，即对系数矩阵进行行操作，使得：$

$ \quad \begin{bmatrix} A‘_1 & B‘_1 & C‘_1 & D‘_1 \\ 0 & B‘_2 & C‘_2 & D‘_2 \\ 0 & 0 & C‘_3 & D‘_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}·\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \theta_{4\times4} $

$ \quad a. 若系数矩阵秩为3，则方程组有唯一解，两直线相交 $

$ \quad b. 若系数矩阵秩小于3，则方程组有无穷解，即两直线重合 $

$ 2.\  两异面直线间距离为：$

$ \quad d_{l_1-l_2} = \frac{\begin{Vmatrix} a_1 - a_2 & b_1 - b_2 \\ c_1 - c_2 & d_1 - d_2 \end{Vmatrix}}{\sqrt{{(a_1 - a_2)}^2 + {(c_1 - c_2)}^2 + {(a_1c_2 - a_2c_1)}^2}} $

$ 其中，a_{1,2} = \frac{\begin{vmatrix} A_{1,3} & C_{1,3} \\ A_{2,4} & C_{2,4} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} B_{1,3} & C_{1,3} \\ B_{2,4} & C_{2,4} \end{vmatrix}}, \quad b_{1,2} = - \frac{\begin{vmatrix} C_{1,3} & D_{1,3} \\ C_{2,4} & D_{2,4} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} B_{1,3} & C_{1,3 }\\ B_{2,4} & C_{2,4} \end{vmatrix}} $

$ \qquad c_{1,2} = - \frac{\begin{vmatrix} A_{1,3} & B_{1,3} \\ A_{2,4} & B_{2,4} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} B_{1,3} & C_{1,3} \\ B_{2,4} & C_{2,4} \end{vmatrix}}, \quad d_{1,2} =\frac{\begin{vmatrix} B_{1,3} & D_{1,3} \\ B_{2,4} & D_{2,4} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} B_{1,3} & C_{1,3 }\\ B_{2,4} & C_{2,4} \end{vmatrix}} $

 $证略（最小平移量问题求解）$

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