判断一个数是不是素数 埃拉托斯特尼筛法 时间复杂度 O(n*lglgn)

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说明：

素数的定义：质数（prime number）又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

最小的素数是2，最小的合数是4

方法一：

根据素数的定义，判断数n是不是素数，我们只需要从i=2开始，判断n能不能被n整除，一直到n-1，如果可以则说明不是素数。另一方面，一个数若是合数，则一定能写成两个因数相乘的形式，并且两个因数中较小的那个一定小于等于sqrt(n)，否则两个因数的乘积大于n，因为i的终止条件可以设为sqrt(n)，这种方法的时间复杂度为O（n的1.5次方）。空间复杂度为O(1)，实现如下：

int isPrime_plain(int n){
	int i;
	int sqrtn = sqrt(n);

	for(i=2;i<=sqrtn;i++){
		if(n%i==0){
			return 0;
		}
	}

	return 1;
}

 埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes），详细介绍看维基百科Sieve of Eratosthenes，这种方法的思想是设置一个标志数组isPrimes[n]，标志数组的每一位标示相应的数是不是素数，初始化为全true。算法从i=2开始，依次将质数的倍数标记为非素数，即将标记数组的相应位改为false，标记质数的倍数的时候从i*i也就是i的平方开始标记，不需要从i*j（且j<i）开始，因为i*j，在遇到j时已经被标记了，因为j比i小，所以遇到j比遇到i要早。因为从i*i开始标记，所以i终止条件也为sqrt(n)，否则i*i将大于n。下面一个图形象说明了这个过程，此方法时间复制度为O(n*lglgn)，空间复杂度为O(n)，见维基百科。

代码实现如下：

int isPrime_sieve(int n){
	int* isPrimes = (int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
	int i,j;
	int sqrtn = sqrt(n);

	if(n<=1)
		return 0;

	for(i=2;i<=n;i++){		//初始化都为素数
		isPrimes[i] = 1;
	}

	//从2开始，将素数的倍数标记为非素数
	//从i的平方开始标记即可，不需要从i*j(且j<i)开始，因为i*j至少在遇到j时已经被标记过了
	for(i=2;i<=sqrtn;i+=1){	
		
		if(isPrimes[i]==0)	//不是素数，说明i可以分解为两个因子相乘，那么在遇到这两个因子的较小者时，i的倍数已经被标记过
			continue;

		for(j=i*i;j<=n;j+=i){	//j是i的倍数
			isPrimes[j] = 0;
		}
	}

	return isPrimes[n];
}

判断一个数是不是素数 埃拉托斯特尼筛法 时间复杂度 O(n*lglgn)

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原文地址：http://blog.csdn.net/x_i_y_u_e/article/details/46365549